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C++动态规划解决嵌套矩形问题

2023-07-04 18:48:52 深夜i -- --

C++ 动态规划嵌套矩形问题

嵌套矩形问题是指在平面上给定一组矩形，要求找到一种排列方式，使得任意两个矩形之间都有至少一个公共点。这个问题在计算机视觉等领域中经常会出现，并且具有良好的应用前景。为了解决这个问题，我们可以利用动态规划的思想，采用C++语言来实现。

在动态规划中，我们通常采用“最优子结构”和“重叠子问题”的思想。对于嵌套矩形问题，我们可以将其转化为“最长递增子序列”问题。具体来说，我们可以将每个矩形按照某一维度（如宽度或高度）进行排序，然后找到以每个矩形为结尾的最长递增子序列的长度。

为了求出这个长度，我们可以使用一个一维的数组dp。其中，dp[i]表示以第i个矩形为结尾的最长递增子序列的长度。初始时，我们将所有的dp[i]都初始化为1，因为每个矩形都至少能与自身相交。接下来，我们按照排序后的顺序，依次计算dp[i]。具体计算方法如下：

对于第i个矩形，我们枚举其前面的每个矩形j，如果第j个矩形与第i个矩形相交，则可以得到一个新的长度为dp[j]+1的递增子序列。我们将这个长度与dp[i]进行比较，如果更长则更新dp[i]的值。最终，dp数组中的最大值就是我们需要求解的结果。

下面是使用C++语言实现动态规划解决嵌套矩形问题的代码示例：


#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
struct Rectangle h;
;
bool cmp(Rectangle a, Rectangle b)
  return a.w < b.w;
int dp[100];
int main() {
  Rectangle rect[100];
  int n;
  cin >> n;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    cin >> rect[i].w >> rect[i].h;
  }
  sort(rect, rect + n, cmp);
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    dp[i] = 1;
    for (int j = 0; j < i; ++j) {
      if (rect[j].h < rect[i].h && dp[j] + 1 > dp[i]) {
        dp[i] = dp[j] + 1;
      }
    }
  }
  int ans = 0;
  for (int i = 0; i < n; ++i) {
    ans = max(ans, dp[i]);
  }
  cout << ans << endl;
  return 0;
}

在这个代码中，我们首先定义了一个Rectangle结构体，用来表示矩形。结构体中包含了矩形的宽度和高度。在main函数中，我们首先读入n个矩形的宽度和高度。然后，我们按照宽度从小到大的顺序将这些矩形进行排序。接下来，我们按照上述的算法，计算每个矩形为结尾的最长递增子序列的长度，最终求出答案并输出。

总的来说，C++动态规划算法可以有效地解决嵌套矩形问题。通过合理地构造状态转移方程并利用动态规划的思想，我们可以在较小的时间复杂度下求解这个问题，为实际应用提供了可行的解决方案。

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