C++动态规划经典题目：合并石子详解
2023-07-01 13:55:35
深夜i
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C++
动态规划
经典题目
合并石子
详解
在C++编程领域中，动态规划可以算得上是一种非常经典和常见的解题方法，而在其中一个经典的题目中，便深入体现了动态规划的妙处，那就是“合并石子”问题。
所谓“合并石子”，即给定一个长度为n的数组，每个元素代表石子的重量，将其不断合并直到只剩下一堆石子，每次只能将相邻的两堆石子合并，每次合并后的代价等于合并后两堆石子的重量之和，求最小的合并代价。
在这个问题中，我们可以引入一个动态规划的思想，即通过将原问题分解成更小的子问题来解决。假设有一个长度为n的数组为stones，我们可以定义dp(i,j)表示将stones[i...j]合并为一堆石子所需要的最小代价。
对于dp(i,j)来说，我们可以先枚举中间分裂成两部分的位置k，将stones[i...j]分裂为stones[i...k]和stones[k+1...j]，那么此时的代价便应是dp(i,k)+dp(k+1,j)+sum(i,j)。
但是，这种方法有一个非常明显的问题，那就是对于可能重复的子计算，会进行大量的重复计算，因此我们通过优化，可以只计算一遍并将其存储。具体来说，我们可以通过状态转移方程dp(i,j)=min(dp(i,k)+dp(k+1,j)+sum(i,j))来实现，其中k的枚举范围为[i,j-1]。
接着，我们可以通过递推来实现。首先初始化dp(i,i)=0，dp(i,i+1)=stones[i]+stones[i+1]。然后，我们可以从状态转移方程中看到dp(i,j)所依赖的状态是dp(i,k)和dp(k+1,j)，因此我们要先计算出较小的区间来推导后面的更大的区间。最后，返回dp(0,n-1)即可。
综上所述，合并石子问题是一个非常典型的动态规划问题，在C++编程中也是一个经典的题目之一。通过这个问题的分析，我们可以更好的理解动态规划的思想和方法，进而在一定程度上提高我们的编程思维和能力。
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