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C++动态规划算法解决0/1背包问题

2023-06-29 10:09:06 深夜i -- --

C++ 动态规划 0/1背包问题算法

背包问题指的是一个背包容量固定，而待放入背包的物品重量和价值不同的情况下，如何选择物品可以使得背包中的总物品价值最大。0/1背包问题特指每种物品只有一件，要么放入背包，要么不放入背包，不能进行拆分。

C++动态规划算法是解决0/1背包问题的常用方法之一。动态规划是一种将一个大问题分解成多个子问题的算法，逐一解决子问题从而得到最终解决方案的方法。

动态规划算法的解题思路分为三步：

1. 定义状态：设计状态表示方法，给每个子问题进行命名。

2. 状态转移方程：建立各个子问题之间的转移关系式，描述由已知子问题向未知子问题的扩展方式。

3. 边界条件：确定初值或终值，即已知子问题的解，在某些解题过程中还需要确定某些限制条件。

下面是C++动态规划算法解决0/1背包问题的具体步骤：

1. 定义状态：设f[i][j]表示前i件物品放入容量为j的背包中所获得的最大价值。（i与j均从1开始）

2. 状态转移方程：背包问题的状态转移方程非常简单明了，当考虑装第i件物品时，我们有两种选择：放入或不放入背包。如果我们选择不放入第i件物品，那么问题就从f[i-1][j]变成了f[i-1][j]，即前i-1件物品放入容量为j的背包中所获得的最大价值；如果我们选择放入第i件物品，那么问题就从f[i-1][j]变成了f[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1件物品放入容量为j-w[i]的背包中所获得的最大价值再加上第i件物品的价值v[i]。于是得到了状态转移方程：

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])

当前i件物品重量的和小于等于j，此时才能把第i件物品装入背包中。

3. 边界条件：当i=0或j=0时，f[i][j]都等于0。

最终，通过动态规划算法，我们可以得到放入物品所获得的最大价值。C++代码如下：

int main() {

int n, m;

cin >> n >> m;

vector w(n+1), v(n+1);

for (int i = 1; i <= n; ++i) {

cin >> w[i] >> v[i];

}

vector > f(n+1, vector (m+1, 0));

for (int i = 1; i <= n; ++i) {

for (int j = 1; j <= m; ++j) {

if (j >= w[i]) {

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]);

} else {

f[i][j] = f[i-1][j];

}

cout << f[n][m] << endl;

return 0;

}

C++动态规划算法解决0/1背包问题，通过定义状态、状态转移方程、边界条件，可以选出所需物品，使得背包总价值最大。该算法在编程设计和面试中都具有重要的价值。

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