C++实现动态规划背包问题
2023-07-04 10:02:05
深夜i
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C++
动态规划
背包问题
实现
背包问题是动态规划中的经典问题，主要是考虑如何在一个有限的背包容量内，能够存放最大价值的物品。其中有两种形式：01背包和完全背包。C++是一种高效的编程语言，能够实现复杂的算法和数据结构，下面将介绍C++实现动态规划背包问题的过程。
首先，需要明确背包问题的定义。01背包问题意味着每个物品只能选择一个或不选，而完全背包问题意味着每个物品可以选择多个或不选。根据题目的不同，需要采用不同的算法进行解决。
对于01背包问题来说，我们通常使用动态规划的方法解决。动态规划的思想在于将整个问题划分为子问题，并将结果保存在数组中，以便后续使用。对于01背包问题来说，定义一个二维数组dp[i][j]，表示前i个物品在j容量下的最大价值。
在dp的求解过程中，需要确定状态转移方程。对于每个物品来说，有两种情况：选或不选。如果选择该物品，那么当前背包剩余容量减少这个物品的重量，背包能够装下的最大价值也就加上这个物品的价值。如果不选择该物品，那么当前背包状态与前i-1个物品的状态相同。所以，状态转移方程可以写为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) // v[i]表示第i个物品的重量，w[i]表示第i个物品的价值
当i=0或j=0时，dp[i][j]的值为0。最终，dp[n][m]即为问题的解。
对于完全背包问题来说，定义一个一维数组dp[j]，表示在容量为j的情况下能够得到的最大价值。其中dp[j]的值需要在遍历物品时进行更新。在更新dp[j]时，需要找到一个可行的初值k，满足j-k*w[i]>=0，并且状态更新后的dp[j-k*w[i]]+k*v[i]比原来的dp[j]更大。
实现动态规划背包问题的代码如下：
//01背包问题
int bag01(int n, int m, vector
vector
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=1; j<=m; j++) {
if(j-w[i]<0) dp[i][j] = dp[i-1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]);
}
}
return dp[n][m];
}
//完全背包问题
int bagComplete(int n, int m, vector
vector
for(int i=1; i<=n; i++) {
for(int j=w[i]; j<=m; j++) {
dp[j] = max(dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]);
}
}
return dp[m];
}
总结来说，C++实现动态规划背包问题需要先确定问题的类型和算法，再通过解决子问题来求解整个问题，最终得到最优解。
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