在计算机科学领域，逆序对指的是在一个序列中，任意两个元素 $i$ 和 $j$ 满足 $i a_j$。用数学公式表示就是： $i a_j$。求解逆序对数量是一项重要的任务，涉及到许多问题和算法。

其中，C++ 是一种快速且灵活的编程语言，具有广泛的应用。在 C++ 中，我们可以使用各种算法来求解逆序对数量。下面，将介绍几种常见的算法。

1. 暴力枚举法

暴力枚举法是一种最简单的求解逆序对数量的方法。该算法通过遍历所有可能的元素对，计算满足逆序对条件的元素对数量。

具体实现如下：

int countInversions(vector<int>& nums) {
  int n = nums.size();
  int cnt = 0;
  for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    for (int j = i+1; j < n; j++) {
      if (nums[i] > nums[j]) {
        cnt++;
      }
    }
  }
  return cnt;
}

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，效率较低，不适用于大规模数据集。

2. 归并排序法

归并排序法是另一种解决逆序对问题的有效算法。该算法通过排序和归并操作来计算逆序对数量。在归并时，可以将逆序对数量计算与排序操作同时进行，从而减小了时间复杂度。

具体实现如下：

int merge(vector<int>& nums, int start, int mid, int end) {
  int i = start, j = mid + 1, k = 0;
  int cnt = 0;
  vector<int> temp(end-start+1);
  while(i <= mid && j <= end) {
    if (nums[i] <= nums[j]) {
      temp[k++] = nums[i++];
    } else {
      temp[k++] = nums[j++];
      cnt += mid - i + 1;
    }
  }
  while(i <= mid) temp[k++] = nums[i++];
  while(j <= end) temp[k++] = nums[j++];
  for (int i = start, k = 0; i <= end; i++, k++) {
    nums[i] = temp[k];
  }
  return cnt;
}
int mergeSort(vector<int>& nums, int start, int end) {
  if (start >= end) return 0;
  int mid = (start + end) / 2;
  int cnt = mergeSort(nums, start, mid) + mergeSort(nums, mid+1, end) + merge(nums, start, mid, end);
  return cnt;
}
int countInversions(vector<int>& nums) {
  return mergeSort(nums, 0, nums.size()-1);
}

该算法的时间复杂度为 $O(nlogn)$，效率较高，在大规模数据集上表现优异。

3. 树状数组法

树状数组法是一种基于二叉索引树数据结构的算法。通过利用树状数组的性质，可以快速计算出逆序对数量。

具体实现如下：

int countInversions(vector<int>& nums) {
  int n = nums.size();
  vector<int> bit(n+1, 0);  // 树状数组
  vector<int> numsCopy(nums);  // 复制原数组
  sort(numsCopy.begin(), numsCopy.end());  // 对复制数组排序
  int cnt = 0;
  for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
    int j = lower_bound(numsCopy.begin(), numsCopy.end(), nums[i]) - numsCopy.begin() + 1;
    cnt += getSum(bit, j-1);
    update(bit, j);
  }
  return cnt;
}
void update(vector<int>& bit, int i) {
  int n = bit.size();
  while(i < n) {
    bit[i]++;
    i += i & -i;
  }
}
int getSum(vector<int>& bit, int i) {
  int cnt = 0;
  while(i > 0) {
    cnt += bit[i];
    i -= i & -i;
  }
  return cnt;
}

该算法的时间复杂度为 $O(nlogn)$，同样适用于大规模数据集，但需要更多的空间。

总结

以上是三种常见的求解逆序对数量的算法。在实际应用中，可以根据数据集的大小、问题需求以及算法特性来选择合适的算法。在 C++ 编程中，凭借其强大的计算性能和丰富的算法库，求解逆序对问题变得更加简便和高效。

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