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C++算法：求解逆序数

2023-07-08 11:33:58 深夜i -- --

C++ 算法逆序数

逆序对作为一种重要的排序度量值，被广泛地应用在各种领域中。如何高效地求解逆序对，一直是算法领域的一个热门问题。C++语言提供了多种算法，可以方便地实现逆序对的求解。

逆序对是指在一个序列中，如果两个元素的前后位置与排序后的次序相反，那么这两个元素就构成一个逆序对。比如，在序列4中，(2,1),(4,1),(4,3)都是逆序对。

基于归并排序的思想，可以较为高效地求解逆序对。具体实现过程如下：首先将序列分成两半，分别进行递归排序，对左右两个有序序列进行合并时，统计逆序对的个数。因为左右两个子序列都是有序的，所以当左半部分的元素大于右半部分的元素时，我们可以知道左半部分中该元素之后的所有元素都是逆序对。因此，可以在合并过程中将逆序对的个数直接进行统计。

以下是求逆序对的C++代码实现：


int mergeSort(vector<int>& nums, int start, int end) {
  if (start < end) {
    int mid = (start + end) / 2;
    int cnt = mergeSort(nums, start, mid) + mergeSort(nums, mid + 1, end);
    vector<int> tmp(end - start + 1);
    int i = start, j = mid + 1, k = 0;
    while (i <= mid && j <= end) {
      if (nums[i] <= nums[j]) {
        tmp[k++] = nums[i++];
      }
      else {
        tmp[k++] = nums[j++];
        cnt += mid - i + 1; // 统计逆序对
      }
    }
    while (i <= mid) {
      tmp[k++] = nums[i++];
    }
    while (j <= end) {
      tmp[k++] = nums[j++];
    }
    for (int m = 0; m < k; ++m) {
      nums[start + m] = tmp[m];
    }
    return cnt;
  }
  return 0;
}
int countInversePairs(vector<int>& nums) {
  return mergeSort(nums, 0, nums.size() - 1);
}

该算法的时间复杂度为$O(nlogn)$，其中$n$为序列的长度。因为要存储一个长度为$n$的临时数组，所以空间复杂度为$O(n)$。

除了基于归并排序的方法之外，还有其他算法可以求解逆序对，如使用树状数组等。无论哪种方法，只要掌握了基本的逆序对统计思想，就能够很好地应对各种实际问题的求解。

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