稀疏矩阵在现实生活中很常见，例如在网络、图像处理、量子化学等领域，它们往往具有很大的规模，但是大多数元素都是0，因此使用传统的矩阵表示方法会造成存储空间的浪费。为了避免这种浪费，我们可以采用稀疏矩阵的表示方法。C++三元组表示稀疏矩阵的基本运算实现如下：

1. 定义结构体

在C++中，我们可以使用结构体来表示稀疏矩阵的元素。结构体中包含三个字段，分别表示矩阵元素的行、列和值。代码如下：

struct Element
  int row;
  int col;
  int value;
;

2. 建立稀疏矩阵

使用三元组表示法来表示稀疏矩阵时，我们需要先建立一个元素数组。在每次添加一个新的矩阵元素时，我们根据元素的值是否为0来判断是否加入数组中来表示该元素。代码如下：

class SparseMatrix {
private:
  int rows;
  int cols;
  int elements;
  Element* ele;
public:
  SparseMatrix(int rows, int cols, int elements);
  ~SparseMatrix();
  SparseMatrix operator+(SparseMatrix& matrix);
  void Display();
};
SparseMatrix::SparseMatrix(int rows, int cols, int elements) {
  this->rows = rows;
  this->cols = cols;
  this->elements = elements;
  ele = new Element[elements];
}
SparseMatrix::~SparseMatrix() {
  delete[] ele;
}
SparseMatrix SparseMatrix::operator+(SparseMatrix& matrix) {
  if (rows != matrix.rows || cols != matrix.cols) {
    throw "Incompatible matrix size";
  }
  SparseMatrix result(rows, cols, elements + matrix.elements);
  int i = 0, j = 0, k = 0;
  while (i < elements && j < matrix.elements) {
    if (ele[i].row < matrix.ele[j].row) {
      result.ele[k++] = ele[i++];
    } else if (ele[i].row > matrix.ele[j].row) {
      result.ele[k++] = matrix.ele[j++];
    } else {
      if (ele[i].col < matrix.ele[j].col) {
        result.ele[k++] = ele[i++];
      } else if (ele[i].col > matrix.ele[j].col) {
        result.ele[k++] = matrix.ele[j++];
      } else {
        result.ele[k].row = ele[i].row;
        result.ele[k].col = ele[i].col;
        result.ele[k++].value = ele[i++].value + matrix.ele[j++].value;
      }
    }
  }
  for (; i < elements; i++) {
    result.ele[k++] = ele[i];
  }
  for (; j < matrix.elements; j++) {
    result.ele[k++] = matrix.ele[j];
  }
  result.elements = k;
  return result;
}
void SparseMatrix::Display() {
  int k = 0;
  for (int i = 0; i < rows; i++) {
    for (int j = 0; j < cols; j++) {
      if (k < elements && ele[k].row == i && ele[k].col == j) {
        cout << ele[k++].value << " ";
      } else {
        cout << "0 ";
      }
    }
    cout << endl;
  }
}

3. 实现加法操作

稀疏矩阵的加法操作需要遍历两个稀疏矩阵，并将相同位置的元素相加。代码如下：

SparseMatrix SparseMatrix::operator+(SparseMatrix& matrix) {
  if (rows != matrix.rows || cols != matrix.cols) {
    throw "Incompatible matrix size";
  }
  SparseMatrix result(rows, cols, elements + matrix.elements);
  int i = 0, j = 0, k = 0;
  while (i < elements && j < matrix.elements) {
    if (ele[i].row < matrix.ele[j].row) {
      result.ele[k++] = ele[i++];
    } else if (ele[i].row > matrix.ele[j].row) {
      result.ele[k++] = matrix.ele[j++];
    } else {
      if (ele[i].col < matrix.ele[j].col) {
        result.ele[k++] = ele[i++];
      } else if (ele[i].col > matrix.ele[j].col) {
        result.ele[k++] = matrix.ele[j++];
      } else {
        result.ele[k].row = ele[i].row;
        result.ele[k].col = ele[i].col;
        result.ele[k++].value = ele[i++].value + matrix.ele[j++].value;
      }
    }
  }
  for (; i < elements; i++) {
    result.ele[k++] = ele[i];
  }
  for (; j < matrix.elements; j++) {
    result.ele[k++] = matrix.ele[j];
  }
  result.elements = k;
  return result;
}

4. 实现显示操作

使用三元组表示法来表示稀疏矩阵后，我们需要重载运算符来对矩阵进行加法运算，同时还需要实现一个方法来将稀疏矩阵转换成一般矩阵的形式并输出。代码如下：

void SparseMatrix::Display() {
  int k = 0;
  for (int i = 0; i < rows; i++) {
    for (int j = 0; j < cols; j++) {
      if (k < elements && ele[k].row == i && ele[k].col == j) {
        cout << ele[k++].value << " ";
      } else {
        cout << "0 ";
      }
    }
    cout << endl;
  }
}

综上所述，以上是C++三元组表示稀疏矩阵的基本运算实现方法。它可以有效地减少存储空间的浪费，提高稀疏矩阵的计算效率。

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