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C++代码实现三次样条插值算法

2023-07-13 21:53:53 深夜i -- --

C++ 三次样条插值算法

三次样条插值算法是一种常用的数值方法，它可以在给定数据点的情况下构造一个连续的三次函数，并且这个函数在每个数据点处都满足特定的条件。这个算法通常应用在数据实验和数值分析中，用于曲线拟合，图像处理等。

下面我们介绍如何使用C++代码实现三次样条插值算法。首先需要给定一些数据点，我们假定这些数据点是(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，其中x1 <...

接下来我们需要计算出每个小区间的插值三次多项式。对于第i个小区间(xi,xi+1)，我们假定插值函数为si(x)=ai+bix+ci(x-xi)+di(x-xi)^3。为了使插值函数符合我们的特定条件，我们需要满足以下条件：

1. 在每个数据点(xi,yi)处，都有si(xi)=yi。

2. 在相邻两个小区间(xi,xi+1)和(xi+1,xi+2)的交界处，有si+1(xi+1)=si(xi+1)和si+1'(xi+1)=si'(xi+1)，其中si+1'和si'分别表示si和si+1的导数。

3. 在边界情况下，我们需要假定插值函数左右端点的一、二阶导数，这个也是我们算法的主要考虑之一。

为了计算这些系数，我们需要使用一些线性代数的知识，具体来说，我们需要构造一个三对角矩阵的方程组，然后通过矩阵的求逆或者高斯消元的方法解出系数。当然，这个过程还需要进行误差分析和选择合适的算法优化等。

下面就是实现三次样条插值算法的C++代码，主要涉及一些向量和矩阵运算。读者需要具有一定的线性代数和C++编程基础。


//C++代码实现三次样条插值算法
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef vector<double> Vec;
typedef vector<Vec> Mat;
//以矩阵形式输出
template<typename T>
void print(const vector<vector<T>> &a) {
  for (auto x : a) {
    for (auto y : x)
      cout << y << " ";
    cout << endl;
  }
}
//求解三对角矩阵方程组
Vec tdma(Mat a, Vec b) {
  int n = a.size();
  Vec p(n), q(n);
  p[0] = -a[0][2] / a[0][1];
  q[0] = b[0] / a[0][1];
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    double k = a[i][0] * p[i - 1] + a[i][1];
    p[i] = -a[i][2] / k;
    q[i] = (b[i] - a[i][0] * q[i - 1]) / k;
  }
  Vec x(n);
  x[n - 1] = q[n - 1];
  for (int i = n - 2; i >= 0; i--)
    x[i] = p[i] * x[i + 1] + q[i];
  return x;
}
//计算三次样条插值的系数
vector<Vec> spline(Vec x, Vec y) {
  int n = x.size();
  Vec h(n - 1), alpha(n - 2), l(n), mu(n), z(n);
  for (int i = 0; i < n - 1; i++)
    h[i] = x[i + 1] - x[i];
  for (int i = 1; i < n - 1; i++)
    alpha[i - 1] = 3 * (y[i + 1] - y[i]) / h[i] - 3 * (y[i] - y[i - 1]) / h[i - 1];
  for (int i = 1; i < n; i++) {
    l[i - 1] = 2 * (x[i + 1] - x[i - 1]) - h[i - 1] * mu[i - 1];
    mu[i - 1] = h[i] / l[i - 1];
    z[i - 1] = (alpha[i - 1] - h[i - 1] * z[i - 2]) / l[i - 1];
  }
  Vec b(n), c(n), d(n);
  for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
    c[i] = z[i] - mu[i] * c[i + 1];
    b[i] = (y[i + 1] - y[i]) / h[i] - h[i] * (c[i + 1] + 2 * c[i]) / 3;
    d[i] = (c[i + 1] - c[i]) / (3 * h[i]);
  }
  vector<Vec> res(3, Vec(n - 1));
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    res[0][i] = b[i];
    res[1][i] = c[i];
    res[2][i] = d[i];
  }
  return res;
}
//计算插值结果
double eval(Vec x, Vec y, Vec coef, double val) {
  int n = x.size();
  for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
    if (val >= x[i] && val <= x[i + 1]) {
      double dx = val - x[i];
      return y[i] + coef[0][i] * dx + coef[1][i] * dx*dx + coef[2][i] * dx*dx*dx;
    }
  }
  return 0.0;
}
int main() {
  Vec x7, y0.657;
  vector<Vec> coef = spline(x, y);
  cout << "拟合系数：\n"; print(coef);  
  cout << "插值结果：\n";
  cout << eval(x, y, coef, 0.5) << endl; //0.477
  cout << eval(x, y, coef, 5.5) << endl; //-0.822
  return 0;
}

在使用该段C++代码时，我们首先需要给定一些数据点。这里我们以著名的例子sin(x)作为数据点的生成模型，然后构造出了对应的x和y的向量，具体代码如下：


Vec x1, y0.989;

然后我们使用上面的spline()函数计算出三次样条插值的系数：


vector<Vec> coef = spline(x, y);
cout << "拟合系数：\n"; print(coef);

最后我们可以调用eval()函数计算插值结果。eval()函数输入参数包括给定的x、y向量，拟合系数coef以及插值点val：


cout << eval(x, y, coef, 0.5) << endl; //0.477
cout << eval(x, y, coef, 5.5) << endl; //-0.822

这里我们输出了当val=0.5和val=5.5时的拟合结果，尝试比较一下和真实值sin(0.5)和sin(5.5)的差别。根据实际需要，我们可以改变插值点来进行更多实验和验证。

在这篇文章中，我们介绍了如何使用C++代码实现三次样条插值算法，并且提供了具体的代码实现和测试。这个方法可以应用到实际的数据分析和数值计算中，并且具有良好的可解释性和解释能力。对于读者来说，掌握这个算法还可以拓展到其他的插值和曲线拟合问题中，如Hermite插值、Lagrange插值、Bezier曲线等，这些都是数值分析领域中经典的算法。

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