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C++编写高斯消元法实现

2023-07-12 05:36:18 深夜i 11 0

C++ 高斯消元法实现

高斯消元法是一种解线性方程组的数值计算方法，已经被广泛应用于数值计算、计算机科学和工程等领域。C++是一种高效且流行的编程语言，在计算机科学中得到了广泛应用。本文将介绍如何使用C++编写高斯消元法。

高斯消元法的基本原理是将线性方程组的系数矩阵通过初等行变换化为一个上三角矩阵，然后通过回代求解出线性方程组的解。以下是使用C++实现高斯消元法的大体步骤：

1. 定义一个n×n的矩阵A和一个n维向量b，分别表示线性方程组的系数矩阵和常数项向量。

2. 使用for循环等方式将A和b输入程序。

3. 构造一个n×(n+1)的增广矩阵，将A和b合并在一起。

4. 通过初等行变换将增广矩阵化为上三角矩阵。

5. 通过回代求解出线性方程组的解。

以下是一个使用C++实现高斯消元法的示例代码：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int main()
{
  const int n = 3; // 矩阵维数
  double A[n][n], b[n], x[n]; // 矩阵A、向量b和向量x
  cout << "输入系数矩阵A和常数项向量b:" << endl;
  for(int i = 0; i < n; i++)
  {
    for(int j = 0; j < n; j++)
      cin >> A[i][j];
    cin >> b[i];
  }
  double M[n][n+1]; // 增广矩阵M
  for(int i = 0; i < n; i++)
  {
    for(int j = 0; j < n; j++)
      M[i][j] = A[i][j];
    M[i][n] = b[i];
  }
  for(int k = 0; k < n; k++)
  {
    for(int i = k+1; i < n; i++)
    {
      double p = M[i][k] / M[k][k];
      for(int j = k; j <= n; j++)
        M[i][j] -= p * M[k][j];
    }
  }
  x[n-1] = M[n-1][n] / M[n-1][n-1];
  for(int i = n-2; i >= 0; i--)
  {
    double s = 0;
    for(int j = i+1; j < n; j++)
      s += M[i][j] * x[j];
    x[i] = (M[i][n] - s) / M[i][i];
  }
  cout << "线性方程组的解为：" << endl;
  for(int i = 0; i < n; i++)
    cout << "x[" << i+1 << "]=" << setprecision(6) << x[i] << endl;
  return 0;
}

上面的代码首先定义了一个3×3的矩阵A、一个3维向量b和一个3维向量x，用于输入和存储线性方程组的系数矩阵和常数项。然后使用for循环等方式将A和b输入程序，并构造了一个3×4的增广矩阵M。接着使用两个嵌套的for循环，将增广矩阵M化为上三角矩阵，最后通过回代求解出线性方程组的解x，并输出结果。

总之，C++编写高斯消元法实现的方法紧密结合了高斯消元法的思想和C++编程语言的相关知识，在实际应用中能够提高计算效率和精度。

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