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C++高斯消元法实现

2023-06-22 02:35:12 深夜i -- --

C++ 高斯消元法矩阵运算数值计算线性方程组

高斯消元法是一种求解线性方程组的常用方法，通过多轮消元和回代操作，可以得到方程组的解向量。C++是一种高效、快速的编程语言，其强大的计算能力和灵活的语法结构使得实现高斯消元法成为一件相对容易的任务。

高斯消元法步骤分为三个阶段：

1. 矩阵的高斯消元

在这一步骤中，需要进行多轮消元操作，使得矩阵满足上三角矩阵的性质。首先，需要找到主元素，在消元操作中使其成为 1 ，然后在当前列中使用该元素消除其他的元素。为了提高程序的效率，可以使用矩阵的列主元选取方法，即从每一列的主元素中选择最大的那一个作为主元素。

2. 矩阵的回代

在矩阵的高斯消元之后，需要进行矩阵的回代操作，求解线性方程组的解。根据矩阵的上三角性质，可以从最后一行开始，沿着对角线往上依次求解解向量的每一个分量。

3. 解的输出和判断

最后一步是进行解的输出和是否有解的判断。如果矩阵存在行满足主元素全部为 0 ，但是对应方程右侧的常数项不为 0 ，则说明方程组无解；如果存在主元素为 0 ，但该行对应方程右侧的常数项为 0 ，则说明该方程有无穷解。

下面是一个简单的 C++ 代码实现：


#include <iostream>
#include <iomanip>
#define N 100 //定义最大的矩阵维数
using namespace std;
double A[N][N], b[N], x[N]; //定义系数矩阵、常数向量和解向量
int n; //矩阵维数
void Gauss() //高斯消元
{
  int i, j, k, r;
  double maxn, sum;
  for (j = 0; j < n-1; j++)
  {
    maxn = abs(A[j][j]);
    r = j;
    for (i = j+1; i < n; i++)
    {
      if (maxn < abs(A[i][j]))
      {
        maxn = abs(A[i][j]);
        r = i;
      }
    }
    if (r != j)
    {
      for (k = j; k < n; k++)
      {
        swap(A[r][k], A[j][k]);
      }
      swap(b[r], b[j]);
    }
    for (i = j + 1; i < n; i++)
    {
      sum = A[i][j] / A[j][j];
      for (k = j; k < n; k++)
      {
        A[i][k] -= sum * A[j][k];
      }
      b[i] -= sum * b[j];
    }
  }
}
void Back() //矩阵的回代
{
  int i;
  x[n-1] = b[n-1] / A[n-1][n-1];
  for (i = n-2; i >= 0; i--)
  {
    double sum = 0;
    for (int j = i+1; j < n; j++)
    {
      sum += A[i][j] * x[j];
    }
    x[i] = (b[i] - sum) / A[i][i];
  }
}
void Print() //解的输出和判断
{
  int i;
  for (i = 0; i < n; i++)
  {
    if (A[i][i] == 0 && b[i] != 0)
    
      cout << "No solution!" << endl;
      return;
    
  }
  for (i = 0; i < n; i++)
  {
    if (A[i][i] == 0 && b[i] == 0)
    
      cout << "Infinite solutions!" << endl;
      return;
    
  }
  cout << "The solution is:" << endl;
  for (i = 0; i < n; i++)
  {
    cout << "x" << i+1 << " = " << fixed << setprecision(2) << x[i] << endl;
  }
}
int main()
{
  cout << "Please enter the dimention of the matrix:";
  cin >> n;
  cout << "Please enter the coefficient matrix:" << endl;
  for (int i = 0; i < n; i++)
  {
    for (int j = 0; j < n; j++)
    {
      cin >> A[i][j];
    }
  }
  cout << "Please enter the constant vector:" << endl;
  for (int i = 0; i < n; i++)
  {
    cin >> b[i];
  }
  Gauss();
  Back();
  Print();
  return 0;
}

通过以上代码，可以完成高斯消元法的实现，并对其进行了简单的测试。在实际应用中，高斯消元法有时会出现数值不稳定的问题，需要使用一些修正算法来保证计算结果的精度和稳定性。此外，该方法不适用于特殊的矩阵结构（如奇异矩阵），需要进一步的算法优化。

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