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C++实现高斯消元法求解增广矩阵

2023-07-08 10:03:29 深夜i -- --

C++ 高斯消元法求解增广矩阵

高斯消元法是一种重要的线性方程组求解方法，它可以将任何线性方程组转化为一个上三角矩阵，从而求解未知数。在计算机科学领域，C++是一种广泛使用的编程语言，因为它具有高效、灵活、可靠等优点。在本文中，我们将介绍如何使用C++实现高斯消元法求解增广矩阵。

首先，我们需要了解一些关于高斯消元法的基本知识。假设我们有一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，b为常数向量，x为未知向量。为了求解未知向量x，我们将增广矩阵[Ab]进行高斯消元。高斯消元的基本思想是通过消元和回带的操作将增广矩阵转化为一个上三角矩阵，然后通过回代计算出未知向量的值。

接下来，我们将介绍如何使用C++实现高斯消元法求解增广矩阵。首先，我们定义一个矩阵类Matrix，该类包含矩阵的基本属性、构造函数和一些基本操作。我们可以使用二维数组来表示矩阵，例如：


class Matrix {
private:
  int rows;
  int cols;
  double **data;
public:
  Matrix(int rows, int cols);
  Matrix(const Matrix& mat);
  ~Matrix();
  void setValue(int i, int j, double x);
  double getValue(int i, int j) const;
  void rowSwap(int i, int j);
  void rowMul(int i, double k);
  void rowAdd(int i, int j, double k);
  Matrix& operator=(const Matrix& mat);
};

其中，rows和cols分别表示矩阵的行数和列数，data为二维数组，用于存储矩阵的元素。Matrix类还包括一些基本的操作，例如setValue、getValue、rowSwap、rowMul和rowAdd等，用于设置矩阵元素、获取矩阵元素、交换行、行乘以常数和行加以常数等。此外，Matrix类还重载了=运算符，用于实现矩阵之间的赋值操作。

接下来，我们需要实现高斯消元法的主函数，例如：


void GaussianElimination(Matrix& mat) {
  int n = mat.getRows();
  for (int i = 1; i <= n-1; i++) {
    for (int j = i+1; j <= n; j++) {
      double k = mat.getValue(j, i) / mat.getValue(i, i);
      for (int l = i; l <= n+1; l++) {
        mat.setValue(j, l, mat.getValue(j, l) - k*mat.getValue(i, l));
      }
    }
  }
}

在该函数中，我们首先获取矩阵的行数n，然后从第一行到第n-1行进行循环，每次选择主元素为第i行第i列元素，然后从第i+1行循环到第n行，以第j行第i列元素除以主元素为比例因子，将第j行减去比例因子乘以第i行，从而消元。最终，我们可以得到一个上三角矩阵。

最后，我们需要实现回代操作，求解未知向量的值，例如：


void BackSubstitution(const Matrix& mat, double *x) {
  int n = mat.getRows();
  for (int i = n; i >= 1; i--) {
    double sum = 0.0;
    for (int j = i+1; j <= n; j++) {
      sum += mat.getValue(i, j) * x[j-1];
    }
    x[i-1] = (mat.getValue(i, n+1) - sum) / mat.getValue(i, i);
  }
}

在该函数中，我们从第n行开始循环到第1行，每次计算未知向量的一个分量，通过已知的未知向量的分量乘以矩阵对应元素的系数和常数向量的值之差，得到未知向量的值。

综上所述，C++实现高斯消元法求解增广矩阵是一种非常实用的方法，它可以帮助我们解决大量的线性方程组问题，在工程、科学、经济等领域应用广泛。如果您也想学习如何使用C++实现高斯消元法，可以参考本文的代码示例和相关文献，逐步掌握矩阵的操作和算法的实现。

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