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C++矩阵求逆的代码实现

2023-07-05 03:34:07 深夜i -- --

C++ 矩阵求逆代码实现

在数学中，矩阵求逆是一项十分基础和重要的操作。它可以帮助我们在解线性方程组、计算特征值和特征向量等方面得到高效和准确的结果。在计算机科学中，C++是一种非常流行的编程语言，很多程序员都会使用它来实现各种各样的算法。那么，本文就来介绍一下C++矩阵求逆的代码实现。

一、矩阵求逆的基本概念

在数学中，二维矩阵求逆是指对于给定的一个2×2的矩阵A，找到另一个2×2的矩阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。换句话说，矩阵A乘上矩阵B等于单位矩阵，而矩阵B乘上矩阵A也等于单位矩阵。

对于大于2×2的矩阵，求逆的方法相对复杂一些，但基本原理是相同的。通常来说，我们可以使用高斯消元法或者LU分解来求逆。下面我们就来看一下这两种方法的具体实现。

二、使用高斯消元法求矩阵逆

高斯消元法是一种用于解线性方程组的方法，在这里我们可以借助它来求矩阵的逆。它的基本思想是通过一系列行变换将矩阵A变换成一个上三角矩阵U，然后再通过反向代入法求解出逆矩阵。具体步骤如下：

1. 构造一个2n*2n的增广矩阵，其中左边的n×n矩阵为原矩阵A，右边的n×n矩阵为单位矩阵I。

2. 对于每一列i，找到第i行到第n行中的第i个元素a[i][i]，并将其设为主元。

3. 对于每一行j，执行以下操作：

3.1. 如果a[j][j]为0，则将第j行和第k行（其中k>j）交换，直到a[j][j]不为0。

3.2. 将第j行的每个元素都除以a[j][j]，以消去主元的影响。

3.3. 对于每一行k（其中k≠j），将第j行乘上a[k][j]的负数，然后加到第k行上，以消去其他元素影响。

4. 通过反向代入法来求解逆矩阵。具体来说，我们可以从最后一行开始，依次计算每个未知数的值，最后得到逆矩阵B。

三、使用LU分解求矩阵逆

比起高斯消元法，LU分解方法是一个更加高效和通用的求矩阵逆的方法。它的基本思路是将矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，然后再通过一系列计算来求逆矩阵。具体步骤如下：

1. 构造一个n×n的增广矩阵，其中左边为原矩阵A，右边为单位矩阵I。

2. 对矩阵A进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。

3. 通过一系列计算来求解逆矩阵B。具体来说，我们可以先计算出BL=I，然后再计算出BU=B。最终得到逆矩阵B。

四、代码实现

下面我们来看一下C++中如何实现矩阵求逆的算法。在这里，我们以高斯消元法为例进行演示。


#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=105; //设置最大行列数
double a[maxn][maxn*2],b[maxn][maxn];//设置矩阵A、B和增广矩阵C
int n;//矩阵的行列数
void Gauss_Jordan()
{
  double temp;
  int k,i,j;
  //高斯消元
  for(k=1;k<=n;k++)
  {
    temp=a[k][k];
    for(i=k+1;i<=2*n;i++)
      a[k][i]/=temp;
    b[k][k]/=temp;
    for(i=1;i<=n;i++)
      if(i!=k)
      {
        temp=a[i][k];
        for(j=k+1;j<=2*n;j++)
          a[i][j]-=a[k][j]*temp;
        b[i][k]-=b[k][k]*temp;
      }
  }
  //矩阵归一
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
      b[i][j]/=a[i][i];
}
int main()
{
  //输入矩阵A和B的值
  cout<<"Please input the number of matrix:"<<endl;
  cin>>n;
  cout<<"Please input matrix A:"<<endl;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
      cin>>a[i][j];
  cout<<"Please input matrix B:"<<endl;
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=n;j++)
    {
      cin>>b[i][j];
      if(i==j)
        a[i][j+n]=1;
      else
        a[i][j+n]=0;
    }
  Gauss_Jordan();   //矩阵求逆
  //输出逆矩阵
  cout<<"The inverse matrix is:"<<endl;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    for(int j=1;j<=n;j++)
      cout<<b[i][j]<<" ";
    cout<<endl;
  }
  return 0;
}

这段代码实现了高斯消元法求解矩阵逆的基本功能。具体来说，我们首先利用输入的矩阵A和B构造一个增广矩阵C，然后对C进行高斯消元，接着通过矩阵归一来得到逆矩阵B。

需要注意的是，在这段代码中，我们设置了矩阵的最大行列数为105，可以根据实际情况进行调整。此外，为了方便计算和输出，我们在输入矩阵B的时候就将矩阵A的单位矩阵部分添加了进去。

总的来说，C++矩阵求逆的代码实现相对较为简单，通过合理地运用各种算法和数据结构，我们可以高效准确地解决各种问题。对于初学者来说，这也是一个很好的学习和实践机会，希望大家能够学以致用，用心做出更好的作品。

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