最长公共子序列（Longest Common Subsequence，LCS）是两个序列中的最长的公共子序列。求解最长公共子序列是在自然语言处理、图像处理等领域应用广泛的算法问题。本文将演示如何使用动态规划来求解最长公共子序列，并给出相应的 Java 代码案例。

首先简短介绍一下动态规划的基本思想。动态规划是一种解决多阶段决策过程最佳化问题（如最优化问题）的通用算法。其基本思想是：将待求解问题转化为若干个子问题，先求解子问题，再依次合并，最终得到最优解。

接下来，我们来看一下如何运用动态规划来求解最长公共子序列问题。首先，需要定义两个字符串 s1 和 s2，它们的长度分别为 m 和 n。然后定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示 s1 中前 i 个字符与 s2 中前 j 个字符的最长公共子序列的长度。

接着，我们需要分别考虑 dp 数组的初始化和状态转移方程。对于初始化，我们可以将 dp[0][j] 和 dp[i][0] 设为 0，因为空字符串与任何字符串的最长公共子序列都为 0。接下来，考虑状态转移方程，当 s1[i] == s2[j] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1，表示当前字符相同，最长公共子序列长度加一；否则，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])，表示当前字符不相同，最长公共子序列的长度要么来自 s1 中前 i-1 个字符与 s2 中前 j 个字符的最长公共子序列，要么来自 s1 中前 i 个字符与 s2 中前 j-1 个字符的最长公共子序列。最后，dp[m][n] 即为 s1 和 s2 的最长公共子序列长度。

下面是 Java 代码实现：

public static int longestCommonSubsequence(String s1, String s2) {
  int m = s1.length(), n = s2.length();
  int[][] dp = new int[m+1][n+1];
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    for (int j = 1; j <= n; j++) {
      if (s1.charAt(i-1) == s2.charAt(j-1)) {
        dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
      } else {
        dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
      }
    }
  }
  return dp[m][n];
}

最后，本文给出了求解最长公共子序列的动态规划算法思路和 Java 代码实现。使用动态规划可以高效地解决最长公共子序列问题，同时也可以应用到其他一些类似的算法问题中。希望读者可以通过本文的介绍，对动态规划算法有更深入的了解。

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