C++中的01背包和完全背包问题 |21xrx.com

2023-07-06 16:08:25 深夜i -- --

C++ 01背包问题完全背包问题动态规划背包容量

C++中的01背包和完全背包问题是非常常见的算法问题，它们是动态规划算法的经典应用。在解决这些问题时，我们需要利用动态规划的思想，通过逐步构建状态转移方程，来求解最终的最优解。

首先，让我们来看看什么是01背包问题。在该问题中，有一个给定容量的背包，以及一系列具有不同价值和重量的物品。我们的目标是找到一种方案，将尽可能多且总重量不超过背包容量的物品放入背包中，使得这些物品的总价值最大。这种问题可以用动态规划来解决，利用状态转移方程来求解最优解。

对于完全背包问题，也是一种背包问题，但它与01背包问题稍有不同。在完全背包问题中，我们仍然有一个给定容量的背包和一系列物品，但是我们可以使某些物品可以被放入背包中多次。我们的目标仍然是找到一种最优方案来放入物品，使得价值最大。

在C++中，我们可以通过使用数组和循环来实现状态转移方程，来求解01背包和完全背包问题。对于01背包问题，我们可以设计一个二维数组f[i][j]，它表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值。方程可以被描述为：

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i])

其中，w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值。

在解决完全背包问题时，我们也可以使用类似的方法来构建状态转移方程来求解最优解。我们可以使用一个二维数组g[i][j]，来表示前i个物品放入容量为j的背包中的最大价值。方程可以被描述为：

g[i][j]=max(g[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i]),其中0≤k≤j/w[i]

在C++中，我们可以使用循环来实现这些方程，从而解决01背包和完全背包问题。下面是一个例子，它解决了一个01背包问题，当背包容量为5时，如何用最小的代价达到最大价值。

#include

using namespace std;

int main()

{

int v[5] = 5;

int w[5] = 2;

int c = 5;

int f[6][6] = { 0 };

for (int i = 1; i <= 5; i++)

{

for (int j = 1; j <= c; j++)

{

f[i][j] = f[i - 1][j];

if (j >= w[i - 1])

{

f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - w[i - 1]] + v[i - 1]);

}

cout << "01背包问题的最大价值为：" << f[5][5] <

return 0;

}

在这个例子中，我们使用了一个二维数组f[6][6]来表示前5个物品放入容量为5的背包中的最大价值。根据状态转移方程，我们仍使用两个循环来从f[1][1]开始求解所有f[i][j]的值。最终，f[5][5]的值为10，这意味着放入前5个物品的最大总价值为10。

总之，C++中的01背包和完全背包问题是通过动态规划算法解决的常见算法问题。通过逐步构建状态转移方程，我们可以使用数组和循环来求解最优解。在编写代码时，请注意使用正确的方程和循环逻辑，以达到准确的结果。

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