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C++高精度乘方算法

2023-07-01 18:30:57 深夜i -- --

C++ 高精度乘方算法

C++高精度乘方算法是一种用于计算大数幂的算法。对于计算 $a^b$（其中 $a$ 和 $b$ 可能是非常大的整数），传统的乘法算法往往会导致计算机的溢出，因此需要使用一种更加高效的算法来解决这个问题。

C++高精度乘方算法的主要思想就是利用指数的二进制表示来进行快速幂运算。具体来说，对于指数 $b$，我们可以将其表示为二进制形式，例如 $b=10110_2$，那么 $a^b$ 可以被转化为 $a^{2^4} \times a^{2^3} \times a^{2^1}$。这个转化的过程可以使用不断对 $b$ 对 $2$ 取模，判断余数是否为 $1$ 的方法来进行。如果 $b$ 的某一位为 $1$，就将当前的幂指数乘以 $a$。

下面是一个实现C++高精度乘方算法的示例代码：


#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
void multiply(vector<int>& res, int a) {
  int carry = 0;
  for (int i = 0; i < res.size(); i++) {
    int num = res[i] * a + carry;
    res[i] = num % 10;
    carry = num / 10;
  }
  while (carry > 0) {
    res.push_back(carry % 10);
    carry /= 10;
  }
}
vector<int> power(int a, int b) {
  vector<int> res(1, 1);
  while (b > 0) {
    if (b % 2 == 1) {
      multiply(res, a);
    }
    a *= a;
    b /= 2;
  }
  return res;
}
int main() {
  int a = 3, b = 10;
  vector<int> res = power(a, b);
  for (int i = res.size() - 1; i >= 0; i--) {
    cout << res[i];
  }
  cout << endl;
  return 0;
}

在上面的代码中，multiply() 函数用于计算高精度乘法，power() 函数则是实现了上述的快速幂算法。

值得注意的是，如果程序中需要使用大量的高精度计算，那么我们应该尽量避免直接使用 vector 这种容器来存储大数。这是因为 vector 容器在进行元素的插入和删除操作时，需要进行内存的动态分配，会导致程序的运行速度较慢。因此，我们可以设计一个自己的高精度数据类型，实现其中需要使用的操作函数，从而提高程序的效率。

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