C++实现求素数的算法
2023-06-27 03:20:55
深夜i
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C++
素数
算法
素数是只能被1和自身整除的正整数。在数论中，素数是一个非常重要的研究对象。“找到素数”这个问题在计算机科学中也很常见。本文将介绍使用C++实现求素数的算法。
素数的判断方法
要判断一个数是否为素数，最简单的方法是用从2到n-1(或者sqrt(n))的所有整数去除以该数，如果都不能整除，则该数为素数。这个方法的时间复杂度为O(n)或者O(sqrt(n))。
是不是看似很简单？但是使用这种方法判断一个非常大的数是否为素数，则时间复杂度就会非常高。所以我们需要结合其他算法来优化计算。接下来将介绍一种可以快速判断素数的算法 - 埃拉托色尼筛法。
埃拉托色尼筛法
埃拉托色尼筛法是通过逐步筛除每个合数(即不是素数的数)来得到素数。它的基本思路如下：
1. 先将从2开始的所有整数从小到大排列。
2. 取出当前最小的素数2，然后将2的倍数全部标记为合数(即除以2余数为0的数)。
3. 取下一个素数，即没有被标记为合数的下一个数，重复第二步操作。
4. 重复上述步骤，直到已经没有大于等于2的素数为止。
用编程的思路来实现这个算法时，我们可以用一个数组来记录每个数是否为素数，称之为筛子。初始化数组时先将所有的元素初始化为素数，然后从第一个素数即2开始，将2的倍数全部标记为合数，接着移动到下一个没有被标记为合数的素数，将其倍数全部标记为合数。如此循环直到砍到n为止，这时候只有素数的位置上面的数字还是素数，非素数的位置变成了0。具体的代码实现如下：
int prime[10000];
int eratosthenes(int n) {
int cnt = 0;
memset(prime, 1, sizeof(prime));
for (int i = 2; i <= n; i++) {
if (prime[i]) {
cnt++;
for (int j = i * 2; j <= n; j += i) {
prime[j] = 0;
}
}
}
return cnt;
}
int main() {
cout << "小于10的素数个数：" << eratosthenes(10) << endl;
cout << "小于100的素数个数：" << eratosthenes(100) << endl;
cout << "小于1000的素数个数：" << eratosthenes(1000) << endl;
cout << "小于10000的素数个数：" << eratosthenes(10000) << endl;
return 0;
}
运行结果：
小于10的素数个数：4
小于100的素数个数：25
小于1000的素数个数：168
小于10000的素数个数：1229
从上面的结果可以看出，使用埃拉托色尼筛法能够很快地求出小于某个数的所有素数。
总结
本文介绍了使用C++实现求素数的算法。通过埃拉托色尼筛法，我们可以更快地找到小于某个数的所有素数。当然，如果要判断一个非常大的数是否为素数，还需要更加高效的算法，比如Miller-Rabin素性测试等。
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