在数学中，阶乘是一个非常重要的概念。阶乘指的是从1到某个正整数之间所有正整数的乘积。例如，4的阶乘是1 x 2 x 3 x 4 = 24。现在，我们使用C++编程来计算1!+2!...+20!的总和。

使用C++编程求解这个问题非常简单。首先，我们需要明确1!+2!+...+20!的总和是什么。为了求这个表达式的值，我们需要计算出1的阶乘，2的阶乘，3的阶乘，以此类推，直到计算出20的阶乘。然后，将所有的阶乘值加起来即可得到总和。

为了计算阶乘，我们可以使用一个循环来实现。对于每个正整数，从1开始一直乘到当前正整数。对于求和的部分，我们可以使用另一个循环来依次添加每个阶乘的值。下面是这个程序的代码实现：

#include <iostream>
int main() {
  long long factorial = 1;
  long long sum = 0;
  for (int i = 1; i <= 20; i++) {
    factorial = 1;
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      factorial *= j;
    }
    sum += factorial;
  }
  std::cout << "1!+2!+...+20! = " << sum << std::endl;
  return 0;
}

在这个程序中，我们首先定义了两个变量：factorial和sum。变量factorial用于存储当前正整数的阶乘值，变量sum用于存储前面所有正整数的阶乘值之和。在第一个for循环中，我们遍历所有从1到20的正整数，并计算每个正整数的阶乘值。具体来说，我们使用一个嵌套的for循环来计算每个正整数的阶乘，将这个值累加到sum中，并重置factorial的值以便计算下一个正整数的阶乘。

当程序运行完毕后，我们可以看到1!+2!+...+20!的值是2561327494111820313。这个程序证明了使用C++编程可以计算复杂的数学表达式。无论是阶乘、幂、对数或三角函数等等，我们都可以使用C++程序来计算。

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