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C++矩阵求逆方法详解

2023-07-11 10:45:23 深夜i -- --

C++ 矩阵求逆方法详解

矩阵求逆是线性代数中的一个重要问题，是许多科学计算和工程应用中的核心算法。在C++编程中，矩阵求逆也是一项基本的技能。下面，我们来详细了解C++矩阵求逆的方法和步骤。

1.矩阵求逆的基本思路：

矩阵求逆的基本思路就是将原始矩阵转化为一个增广矩阵，然后使用高斯-约旦消元法，求出增广矩阵的逆矩阵。最后，从逆矩阵中提取出原始矩阵的逆即可。

2. 矩阵求逆的步骤：

（1）建立增广矩阵

在C++编程中，我们可以通过二维数组来表示矩阵。对于一个n*n的矩阵，可以构造一个2n*2n的增广矩阵，其中原始矩阵位于左上角的n*n个方阵里，右上角的n*n个方阵是一个单位矩阵。

（2）进行高斯-约旦消元

现在我们要利用高斯-约旦消元法，将增广矩阵化为一个辅助矩阵，也就是我们的目标矩阵。具体步骤如下：

- 利用消元法，将增广矩阵的左半部分（即原始矩阵部分）化为一个上三角矩阵。

- 再利用约旦操作，将上三角矩阵化为一个对角矩阵。

- 最后将对角矩阵化为单位矩阵。

（3）提取原始矩阵的逆矩阵

在经过高斯-约旦消元法后，增广矩阵已经变为一个单位矩阵。这个单位矩阵右半部分就是所求的原始矩阵的逆矩阵。我们可以将右半部分提取出来，作为矩阵的逆矩阵。

3. C++代码实现

下面是一个C++的矩阵求逆的代码实现。其中，变量a为输入的矩阵，而b为输出的矩阵（即矩阵a的逆）。


// 定义矩阵求逆函数
void inverse(double a[][N], double b[][N], int n)
{
  int i, j, k, row;
  double max, temp, t;
  double s[N][N * 2];
  // 初始化增广矩阵
  for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n * 2; j++) {
      if (j < n) {
        s[i][j] = a[i][j];
      }
      else if (j == n + i) {
        s[i][j] = 1;
      }
      else {
        s[i][j] = 0;
      }
    }
  }
  // 高斯消元，将左下角矩阵清零
  for (i = 0; i < n; i++) {
    // 首先选出本行最大的元素，将之放到当前行的首位
    row = i;
    max = s[i][i];
    for (j = i + 1; j < n; j++) {
      if (abs(max) < abs(s[j][i])) {
        max = s[j][i];
        row = j;
      }
    }
    for (k = i; k < n * 2; k++) {
      temp = s[i][k];
      s[i][k] = s[row][k];
      s[row][k] = temp;
    }
    // 利用消元法将下角矩阵的所有元素清零
    t = s[i][i];
    for (k = i; k < n * 2; k++) {
      s[i][k] /= t;
    }
    for (j = 0; j < n; j++) {
      if (j != i) {
        t = s[j][i];
        for (k = i; k < n * 2; k++) {
          s[j][k] -= s[i][k] * t;
        }
      }
    }
  }
  // 提取右上部分的矩阵，并将其存储到b中
  for (i = 0; i < n; i++) {
    for (j = 0; j < n; j++) {
      b[i][j] = s[i][j + n];
    }
  }
}

4. 总结

矩阵求逆在C++编程中是一个基本而又重要的技能。通过对矩阵求逆的基本思路和步骤进行了解和掌握，并且运用C++语言来实现了矩阵求逆的代码，我们便可以在未来的编程工作中更加灵活地运用这个技能。

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