C++ 实现组合数 |21xrx.com

C++ 实现组合数

2023-07-09 21:55:59 深夜i -- --

C++ 实现组合数

C++ 是一门强大的编程语言，它可以方便地实现许多数学算法。其中一个重要的求解组合数的算法，也可以在 C++ 中轻松地实现。

组合数是数学上一个重要的概念，它表示从 $n$ 个不同的元素中取出 $r$ 个元素的方式数。其计算公式可以写成：

$$C_{n}^{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$

其中 $n!$ 表示 $n$ 的阶乘，即 $n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$。

现在我们来看看 C++ 中如何实现求解组合数的算法。

一种常见的实现方式是使用递归的方式。首先，我们定义一个函数 $C(n, r)$ 表示从 $n$ 个元素中选出 $r$ 个元素的方式数。递归式可以写成：

$$C(n, r) = \begin{cases} 1, & r=0 \textrm{ 或 } r=n \\ C(n-1, r-1) + C(n-1, r), & \textrm{其他情况} \end{cases}$$

这个递归式的意思是，如果需要选出 $0$ 个元素或者 $n$ 个元素，则只有一种方式；否则，我们分别考虑选出第 $n$ 个元素和不选第 $n$ 个元素两种情况。如果选出第 $n$ 个元素，那么选出剩下的 $r-1$ 个元素的方式数为 $C(n-1, r-1)$；如果不选第 $n$ 个元素，那么选出 $r$ 个元素的方式数为 $C(n-1, r)$。两种情况之和即为 $C(n, r)$。

在 C++ 中，我们可以使用下面的函数来实现递归求解组合数：


int C(int n, int r) {
  if(r == 0 || r == n)
    return 1;
   else {
    return C(n-1, r-1) + C(n-1, r);
  }
}

然而，这种实现方式存在一个严重的问题，就是重复计算。因为多个递归调用可能会涉及同一个子问题，所以可能会导致相同的子问题被重复计算多次，大大降低程序效率。

所以，我们可以采用一种更加高效的实现方式，即使用动态规划。使用动态规划，我们可以通过保存子问题的结果，避免重复计算。

具体实现方式是使用一个二维数组 $C[n+1][r+1]$，其中 $C[i][j]$ 表示从 $i$ 个元素中选出 $j$ 个元素的方式数。初始时，我们将 $C[i][0]$ 和 $C[i][i]$ 的值设为 $1$，因为从 $i$ 个元素中选出 $0$ 个元素的方式数为 $1$，从 $i$ 个元素中选出 $i$ 个元素的方式数也为 $1$。

然后，我们可以采用以下的迭代式来计算 $C[i][j]$：

$$C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j]$$

这个迭代式的意思和递归式相同，即从 $i$ 个元素中选出 $j$ 个元素的方式数等于从 $i-1$ 个元素中选出 $j-1$ 个元素的方式数加上从 $i-1$ 个元素中选出 $j$ 个元素的方式数。

使用 C++ 实现这个动态规划算法也非常简单：


int C(int n, int r) {
  int C[n+1][r+1];
  for(int i = 0; i <= n; i++) {
    C[i][0] = 1;
    C[i][i] = 1;
  }
  for(int i = 1; i <= n; i++) {
    for(int j = 1; j <= i && j <= r; j++) {
      C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
    }
  }
  return C[n][r];
}

因为动态规划只需要计算一次每个子问题，所以相比于递归实现方式，它具有更高的效率和更好的可扩展性。

综上所述，求解组合数是一个重要的数学问题，也是许多算法中必不可少的部分。在 C++ 中，我们可以使用递归或者动态规划的方式来实现求解组合数的算法。其中，动态规划具有更高的效率和更好的可扩展性，因此在实际应用中是更为常用的实现方式。

上一篇: idea打包java可执行jar包

下一篇: 基于C++的浏览器开发

评论区

()

相似文章