使用二分法求解方程的近似根，确保误差不超过给定范围—

使用二分法求解方程的近似根，确保误差不超过给定范围——C++实现

2023-07-08 12:27:01 深夜i -- --

二分法方程近似根误差 C++实现

二分法是一种基于取中间值的搜索算法，常用于求解实数域上的单峰函数问题。在数值计算中，二分法能够精确求解非线性方程，也能够对函数进行近似分析。本文将介绍如何使用C++实现二分法求解方程。

1.算法原理

假设$f(x)$在$[a, b]$上单调递增(递减)并且$f(a)$与$f(b)$异号，则$f(x)$在$[a, b]$上必有一根，即存在一个解$x_0, a \le x_0 \le b$满足$f(x_0) = 0$。根据中值定理，方程$f(x) = 0$等价于方程$x = g(x)$，其中$g(x) = \frac{a+b}{2}$。所以，我们可以将区间$[a, b]$缩小为长度为$\frac{b-a}{2}$的区间，并以此类推，从而逐步调整$x$的值，最终得到一个最接近于解$x_0$的值。

2.实现步骤

(1) 定义函数$f(x)$，并确定搜索区间$[a, b]$。

(2) 将$[a, b]$缩小为$\frac{b-a}{2}$，计算中间点$c = \frac{a+b}{2}$，并计算$f(c)$的值。

(3) 如果$f(c) = 0$，则$c$即为近似解，停止搜索。

(4) 如果$f(c)$与$f(a)$符号相同，则$c$肯定不是解，可将搜索区间修改为$[c, b]$。

(5) 如果$f(c)$与$f(b)$符号相同，则$c$同样不是解，可将搜索区间修改为$[a, c]$。

(6) 重复步骤(2)至(5)，直至误差小于给定范围。

3.代码实现

以下是C++代码实现二分法求解方程的例子：


#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-6; // 精度
double f(double x) // 定义函数
{
  return x*x*x - x - 1;
}
double binary(double a, double b) // 二分法
{
  double c = (a+b)/2;
  while(fabs(f(c)) > eps) //循环直到精度达到eps
  {
    if(f(a)*f(c) > 0) //符号相同
      a = c;
    else if(f(b)*f(c) > 0)
      b = c;
    c = (a+b)/2;
  }
  return c;
}
int main()
{
  double a = 1, b = 2; //搜索区间[a, b]
  double x = binary(a, b);
  cout << "方程的近似根为：" << x << endl;
  return 0;
}

运行该程序，输出结果为：

方程的近似根为：1.32473

4.总结

本文介绍了二分法的算法原理和实现步骤，以及在C++中的使用方法。二分法虽然简单，但其精度和效率依赖于初始搜索区间的选择，因此需要结合具体问题来进行调整。同时，对于更为复杂的非线性方程求解问题，还有其他的数值方法可供选择，如牛顿迭代法、割线法等。

上一篇: idea打包java可执行jar包

下一篇: C++如何去除换行符

评论区

()

相似文章