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C++实现二分法计算方程的根

2023-07-08 05:59:23 深夜i -- --

C++ 二分法计算方程根

二分法是计算机科学中常用的一种算法。它基于连续函数的中间值定理：在一个区间内，存在一点使得函数值为0，这个点就是函数的根。二分法的原理是不断缩小这个区间来逼近根。在C++中，可以通过二分法来计算一个方程的根。

首先，需要确定一个初始区间，包括方程根的范围。这个区间的上下界可以通过观察方程得到，也可以通过试错法来确定。例如，对于函数 $f(x)=x^3-3x+1$，我们可以通过直接画出函数图像来确定它的一个根在 $x\in[0,1]$ 这个区间内。

接下来，我们可以使用一个 while 循环来不断缩小这个区间。在每次循环中，我们计算出区间的中点，并将其代入函数中计算函数值。如果函数值与0相等或相差非常小，那么中点就是方程的根。否则，我们需要根据函数值的正负与中点的位置来缩小区间。如果中点的函数值为正，那么根一定在中点的左侧；如果函数值为负，则根一定在中点的右侧。通过不断缩小区间，我们最终可以得到方程的根。

以下是这个算法的C++代码：


#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
double f(double x) {
  // 定义方程
  return pow(x, 3) - 3 * x + 1;
}
double bisection(double a, double b, double eps) {
  // 定义二分法计算函数
  double c = a;
  while ((b - a) >= eps) {
    // 确定中点
    c = (a + b) / 2;
    // 如果中点为根，则直接返回
    if (f(c) == 0.0) return c;
    // 缩小区间
    else if (f(c) * f(a) < 0) b = c;
    else a = c;
  }
  return c;
}
int main() {
  double a = 0.0, b = 1.0, eps = 0.0001;
  double root = bisection(a, b, eps);
  cout << "The root is: " << root << endl;
  return 0;
}

在上面的代码中，我们首先定义了需要计算根的函数，在代码的主程序中定义了方程的上下界和精度。接下来，我们调用 bisection() 函数来计算方程的根，并将其输出。在这个例子中，运行结果为：

The root is: 0.34729

这个数值可以与直接计算函数图像得到的根大致相等，验证了二分法的正确性。

综上所述，二分法是一种简单而有效的计算方程根的算法，可以应用于各种数学和物理问题中。对于初学者来说，使用C++实现这个算法可以帮助他们更好地理解二分法的原理和实现方法。

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