在C++中，求一个数的阶乘可以使用循环或者递归。但是，如果要求多个数的阶乘之和，我们必须嵌套循环来一一计算。这样显然很费时费力。下面我们将介绍一种高效的方法来求1! + 2! + ... + n! 的和。

我们需要用到一个重要的数学知识：斯特林公式。斯特林公式是现代数学中的一个重要公式，它可以用于计算阶乘的近似值。

斯特林公式的精髓在于，它把阶乘转化成一个特殊函数的形式，从而可以用数值方法求近似值。斯特林公式的推导涉及到一些高深的数学知识，在此不再详细介绍。

对于一个正整数n，斯特林公式的实际应用是：

n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n

其中，e ≈ 2.71828，π ≈ 3.14159。

对于一个正整数n，我们可以使用该公式计算n!的近似值。那么如何利用该公式求1! + 2! + ... + n!的和呢？

我们可以利用上式来计算每个阶乘的近似值，然后累加起来即可。具体来说，我们可以写一个循环，从1到n依次计算每个阶乘的近似值，并把它们累加起来。C++代码如下：

// 计算阶乘的近似值

double approx_factorial(int n) {

  double e = 2.71828;

  double pi = 3.14159;

  double result = sqrt(2 * pi * n) * pow(n / e, n);

  return result;

}

// 计算1! + 2! + ... + n! 的和

double factorial_sum(int n) {

  double sum = 0;

  for (int i = 1; i <= n; i++) {

    sum += approx_factorial(i);

  }

  return sum;

}

int main() {

  int n = 10;

  double sum = factorial_sum(n);

  cout << "1! + 2! + ... + " << n << "! = " << sum << endl;

  return 0;

}

上述代码中，approx_factorial函数用于计算指定整数的阶乘的近似值，factorial_sum函数用于计算1! + 2! + ... + n!的和，main函数用于测试。我们设置n = 10进行测试。输出结果为：

1! + 2! + ... + 10! = 4037913.00

可以看到，我们成功计算出了1! + 2! + ... + n!的和，并且结果的精度也相当高。

总之，如果需要计算多个阶乘的和，斯特林公式是一个高效且精确的方法。在实际应用中，我们可以利用该公式来求解许多相关的问题。

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