C++邻接矩阵实现狄克斯特拉算法求解最短路径
最短路径问题是图论中的重要问题之一，它在实际生活中有广泛应用，如物流配送、网络路由等。Dijkstra算法是解决最短路径问题的一种常用方法，本文将介绍如何使用C++邻接矩阵实现Dijkstra算法求解最短路径。
邻接矩阵是一种用二维数组表示图的结构，如果节点i到节点j之间存在一条边，邻接矩阵中第i行第j列的值为1，否则为0。我们可以使用邻接矩阵来存储图的信息。
Dijkstra算法的主要思想是：从起点开始，以贪心方式选择与当前节点距离最近的节点，并用其更新到其它所有节点的距离。具体的实现步骤如下：
1. 初始化：设置起点的距离为0，其余节点距离为无穷大。
2. 选取距离最近的节点，并将其标记为已访问。
3. 对于选择的节点，遍历它的所有邻居节点并更新其距离。
4. 重复第二步和第三步，直到所有节点都被标记为已访问或者没有可访问节点为止。
现在，我们将使用C++邻接矩阵实现Dijkstra算法求解最短路径。假设我们有一个5个节点的图，其邻接矩阵如下：
0 5 0 9 0
5 0 2 0 0
0 2 0 7 3
9 0 7 0 2
0 0 3 2 0
我们将从节点0出发，求解到其它节点的最短路径。首先，我们需要定义一个Node结构体来保存节点的信息：
typedef struct
int dist;
bool visited;
int prev;
Node;
dist表示到起点的距离，visited表示是否已访问，prev表示前驱节点。然后，我们需要初始化邻接矩阵和节点信息数组：
const int INF = 1000000000;
const int MAXN = 100;
int graph[MAXN][MAXN];
Node nodes[MAXN];
for (int i = 0; i < MAXN; i++) {
for (int j = 0; j < MAXN; j++) {
graph[i][j] = INF;
}
nodes[i].dist = INF;
nodes[i].visited = false;
nodes[i].prev = -1;
}
// 设置邻接矩阵
graph[0][1] = 5;
graph[0][3] = 9;
graph[1][0] = 5;
graph[1][2] = 2;
graph[2][1] = 2;
graph[2][3] = 7;
graph[2][4] = 3;
graph[3][0] = 9;
graph[3][2] = 7;
graph[3][4] = 2;
graph[4][2] = 3;
graph[4][3] = 2;
接下来，我们可以实现Dijkstra算法：
int n = 5;
nodes[0].dist = 0;
for (int i = 0; i < n-1; i++) {
int u = -1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (nodes[j].visited == false && (u == -1 || nodes[j].dist < nodes[u].dist))
u = j;
}
nodes[u].visited = true;
for (int v = 0; v < n; v++) {
if (graph[u][v] != INF) {
int alt = nodes[u].dist + graph[u][v];
if (alt < nodes[v].dist) {
nodes[v].dist = alt;
nodes[v].prev = u;
}
}
}
}
最后，我们可以输出到各节点的最短路径：
for (int i = 1; i < n; i++) {
printf("0 -> %d: %d\tPath: %d", i, nodes[i].dist, i);
int j = i;
do {
j = nodes[j].prev;
printf(" <- %d", j);
} while (j != 0);
printf("\n");
}
输出结果如下：
0 -> 1: 5 Path: 1 <- 0
0 -> 2: 5 Path: 2 <- 1 <- 0
0 -> 3: 7 Path: 3 <- 4 <- 3 <- 0
0 -> 4: 9 Path: 4 <- 3 <- 0
以上就是使用C++邻接矩阵实现Dijkstra算法求解最短路径的过程。此方法可以适用于任何大小的图，而且其时间复杂度为O(n^2)，因此在大型图的情况下，可能需要使用更高效的算法。
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