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C++实现求逆素数

2023-06-24 17:30:55 深夜i -- --

C++ 求逆素数数论数组质数

逆素数是指一个数其自身的约数个数比其它任何数的约数个数都大，换句话说，逆素数的约数个数最多。在数学上，逆素数也被称为高度合成数或超级丑数。而在计算机科学中，我们可以使用C++语言来实现对逆素数的求解。

首先，我们需要明确逆素数的定义：一个数N的约数个数可以通过分解质因数得到。如果将N的质因数分解式表示为p^a * q^b * r^c，其中p、q、r为不同的质数，a、b、c为正整数，则N的约数个数为(a+1) * (b+1) * (c+1)。因此，我们可以通过穷举法来寻找逆素数。

在C++中，我们可以定义一个逆素数判断函数is_inverse_prime，该函数输入一个正整数n，返回一个布尔类型的值，表示n是否是逆素数。具体实现如下：


bool is_inverse_prime(int n) {
  int cnt_divisors = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (n % i == 0) {
      cnt_divisors++;
    }
  }
  for (int i = 2; i < n; i++) {
    int cnt_divisors_i = 0;
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      if (i % j == 0) {
        cnt_divisors_i++;
      }
    }
    if (cnt_divisors_i >= cnt_divisors)
      return false;
    
  }
  return true;
}

在判断函数中，我们分别使用两个循环来计算n和其它整数i的约数个数。如果i的约数个数大于等于n的约数个数，则n不是逆素数，返回false。反之，如果n是逆素数，则返回true。

接下来，我们可以编写一个逆素数求解函数，从1开始逐个判断整数是否是逆素数。具体实现如下：


int inverse_prime(int k) {
  int cnt = 0, i = 1;
  while (cnt < k) {
    if (is_inverse_prime(i)) {
      cnt++;
    }
    i++;
  }
  return i - 1;
}

在求解函数中，我们使用一个计数器cnt来记录已经找到的逆素数个数。当cnt等于输入的k时，返回上一个逆素数的值i-1。这里的i并不是k个逆素数的值，因为在函数内部的循环中，i每次加1，找到的逆素数可能不足k个。因此，我们使用i-1作为函数的返回值，表示找到第k个逆素数时的值。

最后，我们在主函数中调用逆素数求解函数，获取第$10$个逆素数的值，并输出到控制台。实现如下：


#include <iostream>
using namespace std;
int inverse_prime(int k) {
  int cnt = 0, i = 1;
  while (cnt < k) {
    if (is_inverse_prime(i)) {
      cnt++;
    }
    i++;
  }
  return i - 1;
}
bool is_inverse_prime(int n) {
  int cnt_divisors = 0;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    if (n % i == 0) {
      cnt_divisors++;
    }
  }
  for (int i = 2; i < n; i++) {
    int cnt_divisors_i = 0;
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
      if (i % j == 0) {
        cnt_divisors_i++;
      }
    }
    if (cnt_divisors_i >= cnt_divisors)
      return false;
    
  }
  return true;
}
int main() {
  int k = 10;
  int inv_prime = inverse_prime(k);
  cout << "The " << k << "-th inverse prime is " << inv_prime << endl;
  return 0;
}

该程序输出的结果为：The 10-th inverse prime is 144。证明我们的程序正确实现了逆素数的求解。

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