求余运算是一种基本的算术运算，它在计算机程序中也经常被用到。在C++中，我们通常使用取模运算符（%）来进行求余运算。然而，对于大规模计算或者对内存占用有限制的程序来说，取模运算符会占用大量的内存空间，这时候我们需要想办法用C++实现求余运算并节省内存。

一种常用的方法是使用位运算，特别是位与运算（&）和位异或运算（^）。位与运算可以用来判断一个数是否是2的幂次方，而位异或运算可以用来对两个相邻的2的幂次方进行求余运算。这种方法的实现依赖于以下两个定理：

1.对于正整数x和y，其中y为2的幂次方，有x % y = x & (y-1)。

2.对于正整数x和y，其中y为2的幂次方，有x % (2 * y) = x ^ (y-1)。

这两个定理可以用于解决对于大规模计算或者对内存占用有限制的程序中的求余运算。

另外，一种更直接的方法是使用数论中的欧拉定理。欧拉定理指出，如果a和m互质，则a^φ(m) % m = 1，其中φ(m)表示小于m且与m互质的正整数的个数。这条定理可以用于对于大规模计算中的求余运算，前提是a和m必须互质。

综上所述，使用位运算或者欧拉定理都可以用于对于大规模计算或者对内存占用有限制的程序中的求余运算，具体实现需要根据具体情况而定。

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