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C++实现三次多项式插值

2023-06-22 21:23:04 深夜i -- --

C++ 三次多项式插值

三次多项式插值是一种经典的插值方法，可以用于求解未知函数在给定数据点上的值。C++是一种高效、可靠的编程语言，非常适合实现三次多项式插值算法。下面将介绍如何使用C++实现三次多项式插值。

首先，需要定义一个数据结构来存储已知数据点的坐标和函数值，可以使用一个二维数组或者一个结构体来实现。假设已知数据点的个数为n，则定义如下：


struct Point
  double x;
Point dataPoints[n];

接下来，需要编写一个函数来计算三次多项式插值的系数。根据插值定理，三次多项式可以表示为：

p(x) = a0 + a1*(x-x0) + a2*(x-x0)^2 + a3*(x-x0)^3

其中，a0 是需要求解的系数。可以通过对插值函数的一阶、二阶、三阶导数在已知数据点处的取值来求解这些系数。


void calcCoefficients(Point* dataPoints, int n, double* coeff) {
  double h[n-1];
  double delta[n-1];
  double lambda[n];
  double mu[n];
  double d[n];
  for (int i = 0; i < n-1; i++) {
    h[i] = dataPoints[i+1].x - dataPoints[i].x;
    delta[i] = (dataPoints[i+1].y - dataPoints[i].y) / h[i];
  }
  lambda[0] = 1;
  mu[n-1] = 1;
  for (int i = 1; i < n-1; i++) {
    lambda[i] = h[i-1] / (h[i-1] + h[i]);
    mu[i-1] = 1 - lambda[i];
    d[i] = 6 * (delta[i] - delta[i-1]) / (h[i-1] + h[i]);
  }
  // solve the linear equations to get the coefficients
  // ...
  coeff[0] = dataPoints[0].y;
  coeff[1] = (dataPoints[1].y - dataPoints[0].y) / h[0] - (2 * lambda[0] + mu[0]) * d[1] / 6 * h[0];
  coeff[2] = d[0] / 2;
  coeff[3] = (d[1] - d[0]) / (6 * h[0]);
}

在上述函数中，计算了三次多项式插值中的一些辅助变量，比如两个相邻数据点的距离h和函数值差值的比率delta，以及辅助变量lambda、mu和d，用于解出插值函数的系数。系数的解法可以使用高斯消元法等线性方程组求解的方法。

最后，可以编写一个函数来计算在给定x坐标值处的插值函数的值。使用刚才求解的系数，可以快速计算出插值函数在任何一个数据点和数据点之间的点上的值。


double interpolate(Point* dataPoints, int n, double* coeff, double x) {
  int i = -1;
  for (int j = 0; j < n; j++) {
    if (x <= dataPoints[j].x) {
      i = j-1;
      break;
    }
  }
  if (i < 0) {
    i = 0;
  } else if (i >= n-1) {
    i = n-2;
  }
  double dx = x - dataPoints[i].x;
  return coeff[0] + coeff[1]*dx + coeff[2]*dx*dx + coeff[3]*dx*dx*dx;
}

在上述函数中，通过查找x在已知数据集合中的位置，可以定位到插值函数的一个局部区间，并计算出对应的系数。然后，可以利用该局部区间上的系数来计算插值函数在给定x处的值。

综上所述，使用C++实现三次多项式插值可以通过定义数据结构、实现系数计算函数和插值计算函数来完成。这种方法不仅高效、可靠，而且代码结构清晰、易于维护。

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