关键词：最小生成树、算法、例题
2023-06-11 06:04:03
深夜i
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最小生成树的两种算法例题
最小生成树是图论中的一个经典问题，给定一张有权的连通图，求其中的一棵权值和最小的生成树。在解决这个问题时，一般采用Prim算法和Kruskal算法两种经典算法。下面我们就通过例题来了解一下这两种算法的具体应用。
例题1：求最小生成树
给定一个无向图，其边权均为正数，求从顶点v出发必需经过所有顶点的最小权值和。
Step 1：使用Prim算法求解
从顶点v开始，每次找出与当前已访问过的顶点集合相邻的最小边并将其加入集合中。重复这个过程，直到所有顶点都被加入集合。
Step 2：使用Kruskal算法求解
将图中所有边按边权从小到大排序，依次将边加入生成树中，若加入某条边后会形成环，则舍去该边。重复这个过程，直到所有顶点都被加入生成树。
例题2：求最小生成树
给定一个含有5个节点、6条边的无向带权图，如下所示：
Step 1：使用Prim算法求解
选择任意一点作为起点，将此点加入集合中。
从集合中的每个点开始，寻找与其相连的所有边中权值最小的边，将其加入集合中。将新加入的点标记已经访问过，以免重复加入。
重复上一步，直到集合包含所有节点。
Step 2：使用Kruskal算法求解
将图中的所有边按权值从小到大排序，从小到大扫描每条边。
若该边的加入将不会造成环的出现，则该边被加入生成树中。
若该边的加入会使生成树出现环，则该边被舍去。
重复上述步骤，直到生成树包含所有节点。
结论：
经过两种算法的求解，得到的最小生成树的权值和都是16，但是生成树的结构不同。Prim算法得到的最小生成树为1-2-3-4-5，Kruskal算法得到的最小生成树为1-2-4-3-5。
通过这两个例题，我们可以发现，在求解最小生成树的问题时，Prim算法和Kruskal算法都是非常有效的算法。针对不同问题，选择合适的算法，可以大大提高算法求解的效率和准确性。
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