用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树 画图
2023-06-10 18:59:34
深夜i
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克鲁斯卡尔算法
最小生成树
图论
在图论领域中，最小生成树是个非常重要的概念。在许多实际问题中，需要将一个由节点和边组成的图，转化为仅包含一些边的图，而在保持图的连通性的同时，使这些边的权值之和最小。这个经典问题的解决方案是用克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。
克鲁斯卡尔算法是一种贪心算法，基于初始的无边图，将所有边按权值从小到大排序，逐渐添加边，直到图变为连通为止。过程中不断判断新加入的边与已存在的边是否会形成环，如果会，则不加入。这样得到的就是原图的最小生成树。
下面通过一幅简单的图，用克鲁斯卡尔算法来构造其最小生成树。
首先，将图中的所有边按照权值从小到大排序。这里我们采用的是邻接矩阵表示法。
接下来，用算法依次选择边，并判断是否形成环。按照克鲁斯卡尔算法，每次选择的边一定是目前未被包含在最小生成树中，并且权值最小的边。如果新选择的边跟之前所加入的边组成环，则不再添加该边。
首先选择权值最小的边 A-D （权值为2），并将其加入最小生成树。
接着选择下一个权值最小的边 C-D （权值为3），并将其加入最小生成树。这时，A-D 和 C-D 形成了环，故不再加入该边。
然后选择权值为 4 的边 A-B，并将其加入最小生成树。
随后选择权值为 5 的边 B-C，并将其加入最小生成树。
最后选择权值为 6 的边 B-D，并将其加入最小生成树。
至此，我们得到了图的最小生成树。
总的来说，克鲁斯卡尔算法是构造最小生成树最简单有效的方法之一。通过依次选择边并判断是否形成环，算法可以在保持图的连通性的前提下，得到原图中所有边权值之和最小的一种选取方式。而对于边界条件等一些特殊情况，算法在实践中也有相应的修改和优化。因此，在图论的应用中，克鲁斯卡尔算法具有广泛的应用前景和理论研究价值。
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