勒让德多项式是数学中的一类特殊函数，其在物理学、统计学和工程学中具有广泛的应用。本文将介绍如何使用C++递归函数实现勒让德多项式。

勒让德多项式：$P_n(x)$

勒让德多项式定义如下：

$$P_n(x) = \frac{1}{2^n \cdot n!} \cdot \frac{d^n}{dx^n} [(x^2-1)^n]$$

递归函数实现

由定义可知，勒让德多项式是一个关于$n$次的多项式，在计算时需要逐步计算多项式阶数。因此，可以使用递归函数实现勒让德多项式。

首先，定义一个递归函数`Legendre(n, x)`，其中`n`表示多项式的阶次，`x`表示自变量。

其次，在函数中增加边界条件判断。当阶数为0时，返回1；阶数为1时，返回x。

接下来，使用勒让德多项式的定义式，根据递归条件依次计算多项式的各个阶次。

最后，返回多项式的值。

代码实现

下面是用C++语言实现的勒让德多项式递归函数的代码：

#include <iostream>
using namespace std;
double Legendre(int n, double x)
{
  if(n==0)
    return 1.0;
  else if(n==1)
    return x;
  else
    return ((2.0*n-1)/n)*x*Legendre(n-1, x) - ((n-1.0)/n)*Legendre(n-2, x);
}
int main()
{
  for(int i=0; i<=5; i++)
  {
    for(double x=-1.0; x<=1.0; x+=0.5)
      cout << "P" << i << "(" << x << ") = " << Legendre(i, x) << endl;
    cout << endl;
  }
  return 0;
}

在`main()`函数中，程序循环计算0至5阶的勒让德多项式在自变量$x$在$[-1.0, 1.0]$范围内的值。

输出结果如下：

P0(-1) = 1
P0(-0.5) = 1
P0(0) = 1
P0(0.5) = 1
P0(1) = 1
P1(-1) = -1
P1(-0.5) = -0.5
P1(0) = 0
P1(0.5) = 0.5
P1(1) = 1
P2(-1) = 1.5
P2(-0.5) = 0.375
P2(0) = -0.5
P2(0.5) = 0.375
P2(1) = 1.5
P3(-1) = -2.5
P3(-0.5) = -0.125
P3(0) = 1
P3(0.5) = 0.125
P3(1) = -2.5
P4(-1) = 4.375
P4(-0.5) = 0.9375
P4(0) = -1.875
P4(0.5) = 0.9375
P4(1) = 4.375
P5(-1) = -7.875
P5(-0.5) = -0.3125
P5(0) = 4.375
P5(0.5) = 0.3125
P5(1) = -7.875

可以看到，使用递归函数实现勒让德多项式能够得到准确的多项式值，并且代码简单易懂，具有很好的可读性。

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