C++实现共轭梯度法程序
共轭梯度法是一种常用的线性代数求解方法，能够在较短时间内求得较为精确的解。C++是一种高效的编程语言，可以用于实现各种算法。在本篇文章中，我们将介绍如何使用C++编写共轭梯度法程序。
共轭梯度法的实现需要以下几个步骤：
1. 初始化向量和矩阵：首先需要初始化向量和矩阵。向量包含所有未知参数的值，矩阵则包含线性方程组的系数。
2. 计算初始残差和搜索方向：初始残差可以通过将方程组的左侧乘以向量，再减去右侧的常数得到。搜索方向可以通过将初始残差作为搜索方向的第一个向量得到。
3. 迭代求解：对于每个迭代步骤，需要计算步长、更新向量和更新搜索方向。步长可以通过计算搜索方向和残差的点积除以搜索方向和矩阵乘以搜索方向的点积得到。更新向量需要将上一轮向量加上步长乘以搜索方向，更新搜索方向需要计算残差和更新向量之差除以搜索方向和矩阵乘以更新向量的点积得到。
4. 结果输出：如果迭代次数达到了设定的最大值，或者残差已经足够小，就说明算法得出了比较精确的解。
下面是参考代码：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
// 初始化向量和矩阵
vector<double> init_vec(int n) {
vector<double> res(n, 0);
for (int i = 0; i < n; i++)
// TODO: 初始化向量
return res;
}
vector<vector<double>> init_matrix(int n) {
vector<vector<double>> res(n, vector<double>(n, 0));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++)
// TODO: 初始化矩阵
}
return res;
}
// 计算初始残差和搜索方向
vector<double> compute_residual(vector<vector<double>>& A, vector<double>& b,
vector<double>& x)
// TODO: 计算残差
vector<double> compute_search_direction(vector<double>& r)
// TODO: 计算搜索方向
// 主函数
int main() {
int n = 10; // 未知参数的数量
int max_iter = 100; // 最大迭代次数
double epsilon = 1e-6; // 精度要求
// 初始化向量和矩阵
vector<double> x = init_vec(n);
vector<vector<double>> A = init_matrix(n);
vector<double> b(n, 0);
for (int i = 0; i < n; i++) {
b[i] = i + 1;
}
// 计算初始残差和搜索方向
vector<double> r = compute_residual(A, b, x);
vector<double> p = compute_search_direction(r);
// 迭代求解
int iter = 0;
while (iter < max_iter && norm(r) > epsilon) {
iter++;
// 计算步长
double alpha = dot_product(r, r) / dot_product(p, A * p);
// 更新向量
x = x + alpha * p;
r = compute_residual(A, b, x);
// 更新搜索方向
double beta = dot_product(r - p * (A * p), r - p * (A * p)) / dot_product(p, A * p);
p = compute_search_direction(r);
cout << "Iter=" << iter << ", Residual=" << norm(r) << endl;
}
// 结果输出
cout << "Solution:" << endl;
for (int i = 0; i < n; i++) {
cout << x[i] << " ";
}
cout << endl;
return 0;
}
这是一个比较简单的共轭梯度法的实现，如果想要更好的效率和精度，还需要进行进一步的优化。例如，可以使用预处理技术来加速矩阵向量乘法的计算。
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