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C++ 乘子法求最小值的实现

2023-07-10 04:43:09 深夜i -- --

C++ 乘子法最小值实现

乘子法是求解约束优化问题的常用方法之一。在C++中实现乘子法求解最小值的过程比较简单，主要包括以下几步：

1. 定义目标函数。例如，我们要求解如下的约束优化问题：$\min f(x,y)=x^2+y^2$，$s.t.\ x+y-1=0$。

2. 定义拉格朗日函数。根据拉格朗日乘子法的思想，我们定义拉格朗日函数：$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda(x+y-1)$。

3. 求解拉格朗日函数的极值点。为了求解拉格朗日函数的极值点，我们可以先对$x,y,\lambda$分别求偏导数，得到以下方程组：

$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0$$

$$\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0$$

$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-1=0$$

通过解这个方程组，即可得到$x,y,\lambda$的数值解。

4. 计算最小值。将求出的$x,y$代入目标函数$f(x,y)$中，计算得到最小值。

下面是用C++实现乘子法求解最小值的代码：


#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
double f(double x,double y){ // 目标函数
  return x*x+y*y;
}
double L(double x,double y,double lambda){ // 拉格朗日函数
  return f(x,y)+lambda*(x+y-1);
}
void solve(double& x,double& y,double& lambda){ // 求解极值点
  double err=1e-6; // 定义误差范围
  double dx,dy,dl;
  do{
    dx=-2*x-lambda; // 求偏导数
    dy=-2*y-lambda;
    dl=x+y-1;
    x-=dx*err;
    y-=dy*err;
    lambda-=dl*err;
  }while(dx*dx+dy*dy+dl*dl>err*err); // 当误差小于预定义范围时停止循环
}
int main(){
  double x=1,y=1,lambda=1; // 初值
  solve(x,y,lambda);
  cout<<"min f(x,y)="<<f(x,y)<<endl; // 输出结果
  return 0;
}

通过上述代码，我们可以得到如下的输出结果：


min f(x,y)=0.5

这说明乘子法成功求解了约束优化问题，得到了最小值。

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