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用C++编写实现MATLAB eig函数

2023-07-07 18:27:55 深夜i -- --

C++ MATLAB eig函数实现编写

MATLAB是一种广泛使用的高级技术计算语言和交互式环境。在MATLAB中，eig函数是求解矩阵特征值和特征向量的重要函数。本文将介绍如何用C++编写实现MATLAB eig函数的方法和步骤。

C++是一种高效、快速和可靠的编程语言，它拥有强大的内存管理和处理能力。C++可以通过使用线性代数库和算法来解决矩阵问题，这使得C++成为实现MATLAB eig函数的一种很好选择。

要编写C++版本的eig函数，需要以下步骤：

1. 定义矩阵数据结构

在C++中，需要定义一个矩阵数据结构，可以使用数组或向量来表示。可以使用指针和动态内存分配来实现矩阵操作。

2. 实现矩阵转置、乘法和求逆

在实现eig函数之前，需要实现矩阵转置、乘法和求逆等操作。这些操作是实现eig函数的基础。

3. 实现矩阵特征值算法

实现eig函数的核心是实现矩阵特征值算法。可以使用Jacobi方法或QR分解等常见算法来求解特征值和特征向量。

4. 实现eig函数

将实现的矩阵特征值算法和其他操作组合起来，实现C++版本的eig函数。

下面是一个使用Jacobi方法实现C++版本的eig函数的示例代码：


#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
// 定义矩阵数据结构
struct Matrix
  vector<vector<double>> data;
  int rows;
  int cols;
;
// 矩阵转置
Matrix transpose(Matrix mat) {
  Matrix result;
  result.rows = mat.cols;
  result.cols = mat.rows;
  for(int i = 0; i < result.rows; i++) {
    vector<double> row;
    for(int j = 0; j < result.cols; j++) {
      row.push_back(mat.data[j][i]);
    }
    result.data.push_back(row);
  }
  return result;
}
// 矩阵乘法
Matrix multiply(Matrix mat1, Matrix mat2) {
  Matrix result;
  result.rows = mat1.rows;
  result.cols = mat2.cols;
  for(int i = 0; i < result.rows; i++) {
    vector<double> row;
    for(int j = 0; j < result.cols; j++) {
      double sum = 0;
      for(int k = 0; k < mat1.cols; k++) {
        sum += mat1.data[i][k] * mat2.data[k][j];
      }
      row.push_back(sum);
    }
    result.data.push_back(row);
  }
  return result;
}
// 矩阵求逆
Matrix inverse(Matrix mat) {
  int n = mat.rows;
  // 构造增广矩阵
  vector<vector<double>> augment;
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    vector<double> row;
    for(int j = 0; j < 2 * n; j++) {
      if(j < n) {
        row.push_back(mat.data[i][j]);
      } else {
        if(j - n == i) {
          row.push_back(1);
        } else {
          row.push_back(0);
        }
      }
    }
    augment.push_back(row);
  }
  // 初等变换，将左边矩阵化为单位矩阵
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    double pivot = augment[i][i];
    for(int j = 0; j < 2 * n; j++) {
      augment[i][j] /= pivot;
    }
    for(int k = 0; k < n; k++) {
      if(k != i) {
        double factor = augment[k][i];
        for(int j = 0; j < 2 * n; j++) {
          augment[k][j] -= factor * augment[i][j];
        }
      }
    }
  }
  // 提取右边的逆矩阵部分
  Matrix result;
  result.rows = n;
  result.cols = n;
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    vector<double> row;
    for(int j = n; j < 2 * n; j++) {
      row.push_back(augment[i][j]);
    }
    result.data.push_back(row);
  }
  return result;
}
// Jacobi方法求解特征值和特征向量
void jacobi(Matrix mat, vector<double>& eigs, Matrix& evecs) {
  int n = mat.rows;
  evecs.rows = evecs.cols = n;
  eigs.resize(n);
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    for(int j = 0; j < n; j++) {
      evecs.data[i].push_back(i == j ? 1 : 0);
    }
  }
  while(1) {
    double max_val = 0;
    int max_i, max_j;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = i + 1; j < n; j++) {
        double val = fabs(mat.data[i][j]);
        if(val > max_val)
          max_val = val;
          max_i = i;
          max_j = j;
        
      }
    }
    if(max_val < 1e-10)
      break;
    
    double theta = (mat.data[max_j][max_j] - mat.data[max_i][max_i]) / (2 * mat.data[max_i][max_j]);
    double t = (theta >= 0) ? 1.0 / (theta + sqrt(1 + theta * theta)) : 1.0 / (theta - sqrt(1 + theta * theta));
    double c = 1 / sqrt(1 + t * t);
    double s = c * t;
    Matrix rot;
    rot.rows = rot.cols = n;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      for(int j = 0; j < n; j++) {
        rot.data[i].push_back(i == j ? 1 : 0);
      }
    }
    rot.data[max_i][max_i] = c;
    rot.data[max_j][max_j] = c;
    rot.data[max_i][max_j] = s;
    rot.data[max_j][max_i] = -s;
    mat = multiply(multiply(transpose(rot), mat), rot);
    evecs = multiply(evecs, rot);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      if(i != max_i && i != max_j) {
        double temp1 = mat.data[max_i][i];
        double temp2 = mat.data[max_j][i];
        mat.data[max_i][i] = c * temp1 + s * temp2;
        mat.data[max_j][i] = -s * temp1 + c * temp2;
        mat.data[i][max_i] = c * temp1 + s * temp2;
        mat.data[i][max_j] = -s * temp1 + c * temp2;
      }
    }
    mat.data[max_i][max_i] = c * c * mat.data[max_i][max_i] + 2 * c * s * mat.data[max_i][max_j] + s * s * mat.data[max_j][max_j];
    mat.data[max_j][max_j] = s * s * mat.data[max_i][max_i] - 2 * c * s * mat.data[max_i][max_j] + c * c * mat.data[max_j][max_j];
    mat.data[max_i][max_j] = mat.data[max_j][max_i] = 0;
  }
  for(int i = 0; i < n; i++) {
    eigs[i] = mat.data[i][i];
  }
}
// eig函数
void eig(Matrix mat, vector<double>& eigs, Matrix& evecs) {
  jacobi(mat, eigs, evecs);
}
// 测试
int main() {
  Matrix mat;
  mat.rows = mat.cols = 3;
  mat.data = { 2, 6, 9};
  vector<double> eigs;
  Matrix evecs;
  eig(mat, eigs, evecs);
  for(int i = 0; i < eigs.size(); i++) {
    cout << "eig: " << eigs[i] << endl;
  }
  cout << endl;
  for(int i = 0; i < evecs.rows; i++) {
    for(int j = 0; j < evecs.cols; j++) {
      cout << "evec[" << i << "][" << j << "]: " << evecs.data[i][j] << endl;
    }
  }
  return 0;
}

在这个示例代码中，定义了矩阵数据结构，实现了矩阵转置、乘法和求逆等操作，使用Jacobi方法实现了特征值算法，最后实现了eig函数。示例代码中的测试用例为一个$3x3$的矩阵。

通过这个示例，可以了解到实现eig函数的一般步骤和方法。对于更大的矩阵，可以使用更高效的算法来提高性能，但这需要更深入的数学和算法知识。尽管如此，C++是一种非常好的工具，可以帮助研究人员和工程师在高性能计算和科学计算等领域取得成功。

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