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C++中的最长上升子序列问题

2023-07-07 11:08:08 深夜i -- --

C++ 最长上升子序列动态规划非递归实现时间复杂度

C++中的最长上升子序列问题是计算最长上升子序列的长度的算法问题。本文将介绍这个问题的定义、求解思路以及代码实现。

定义

一个序列的子序列是从原序列中删除一些元素后得到的序列，这个序列可以是原序列排列得到的任意序列，但保证原序列中所有元素都出现在了这个序列中。一个上升子序列是指序列中元素排列的顺序和原序列中元素顺序一致，但长度比原序列短，且相邻的元素比较关系为“大于”。

最长上升子序列问题就是给定一个序列，求其最长上升子序列的长度。

求解思路

动态规划是解决最长上升子序列问题的常用方法。我们可以定义一个长度为n的数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长上升子序列的长度。

假设前i-1个元素的最长上升子序列长度为dp[i-1]，我们需要求解以第i个元素结尾的最长上升子序列长度dp[i]。因为dp[i-1]已经求出来了，我们可以尝试将第i个元素添加进去，然后找到一个位置j，满足dp[j]+1最大并且j

在求解的过程中，因为需要遍历到每个元素，所以最坏情况下需要进行n次查询。每次查询需要再进行一次循环，遍历前面的元素，因此总的时间复杂度是O(n^2)。

代码实现

以下是C++中最长上升子序列问题的代码实现：


int dp[100]; //定义动态规划数组，长度为n
int LIS(int a[], int n) {
  int res = 0;
  for(int i=0; i<n; i++) {
    dp[i] = 1; //初始化
    for(int j=0; j<i; j++) {
      if(a[j] < a[i]) {
        dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1); //更新dp[i]
      }
    }
    res = max(res, dp[i]); //更新最终结果
  }
  return res;
}

上述代码中，LIS函数接受一个序列a和其长度n作为参数，并返回序列的最长上升子序列长度。在函数内部，我们首先初始化dp数组，然后通过两层循环计算dp[i]。函数结束后，我们返回dp数组的最大值，即为所求的最长上升子序列长度。

总结

C++中的最长上升子序列问题是一个比较基础的算法问题，动态规划是其常用的求解思路。我们可以定义一个dp数组，存储以每个元素结尾的最长上升子序列长度，并通过两层循环遍历序列求解。因为需要遍历到每个元素，所以时间复杂度是O(n^2)。但是，通过改进求解思路，例如使用二分查找，我们可以将时间复杂度降低到O(n logn)。

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