C++ 数量计数（Noip2001）
2023-07-05 02:31:38
深夜i
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C++
数量
计数
Noip2001
数量计数是一道经典的计数问题，它在 NOIp 2001 中也出现过。在这道题中，我们需要求出所有满足特定条件的排列数目。
题目描述
给定长度为 n 的序列，其中每个位置上可以填上 1 ~ n 中的一个数，求有多少个排列满足以下条件：
- 对于任意的 i，都存在一个 j，使得 a[i] = j 且 j 不出现在前 i 个位置中；
- 对于任意的 i，都存在一个 j，使得 a[i] < j 且 j 出现在前 i 个位置中。
解决方法
此题可以使用动态规划来解决。我们可以用 dp[i][bit] 表示在长度为 i 的排列中，状态为 bit 的排列数。
其中 bit 表示一个 n 位的二进制数，如果第 i 位为 1，则表示数字 i 在这个状态对应的排列中已经出现；否则表示未出现。
接下来，考虑转移方程。对于 dp[i][bit]，我们可以枚举下一个位置填哪个数，然后判断这个位置是否能够满足题目给出的两个条件，如果能够满足，则将这个位置标记为已经出现，然后通过状态转移方程（类似背包问题）计算出下一个状态 dp[i+1][bit'] 的值。
在计算 dp[i+1][bit'] 的时候，我们需要考虑以下三种情况：
- 这个位置填 i+1，同时这个位置对应的 j 在前 i 个位置中出现过，也就是以前的状态中第 j 位为 1；
- 这个位置填 i+1，同时这个位置对应的 j 在前 i 个位置中没有出现过，即以前的状态中第 j 位为 0；
- 这个位置不填 i+1，即状态不变。
最终的答案就是 dp[n][2^n-1]，即在长度为 n 的排列中，所有数字都已经出现，同时每个数字都满足条件的排列数目。
C++ 代码
下面是本题的 C++ 代码，其中 bitset 用于处理位运算，可以将 n 位二进制数看成一个布尔向量，进行位运算，简化了某些操作。
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