傅里叶变换（Fourier Transform）是一种将信号在时间域和频域之间转换的数学工具。在信号处理、图像处理等领域中有广泛应用。但是直接使用 Fourier Transform 的计算量比较大。为了解决这个问题，就引出了快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法，它可以大大减少计算量。

C++语言作为一种灵活、高效的编程语言，非常适合用来实现 FFT 算法。下面是如何使用 C++ 实现快速傅里叶变换的一些步骤：

1. 创建一个复数类

在 FFT 算法中，需要用到复数的概念。因此，第一步就是创建一个复数类。这个类包括实数部分和虚数部分。这里给出一个示例代码：

class Complex {

public:

  double real;

  double imag;

  Complex():real(0),imag(0){}

  Complex(double real,double imag):real(real),imag(imag){}

};

2. 制作一个 FFT 函数

在编写 FFT 算法之前，需要搞清楚 FFT 算法的基本思想和操作。这里不做详细介绍，只给出一个实现 FFT 算法的函数代码：

void fft(Complex *input, Complex *output, int size, int stride) {

  if (size <= 1) {

    output[0] = input[0];

    return;

  }

  Complex *even = new Complex[size / 2];

  Complex *odd = new Complex[size / 2];

  for (int i = 0; i < size / 2; i++) {

    even[i] = input[2 * i];

    odd[i] = input[2 * i + 1];

  }

  fft(even, even, size / 2, stride * 2);

  fft(odd, odd, size / 2, stride * 2);

  for (int i = 0; i < size / 2; i++) {

    double angle = 2 * M_PI * i / size;

    Complex ex(cos(angle), sin(angle));

    output[i] = even[i] + ex * odd[i];

    output[i + size / 2] = even[i] - ex * odd[i];

  }

  delete[] even;

  delete[] odd;

}

3. 进行 FFT 变换

有了上述函数的帮助，使用 FFT 变换就变得很简单了。输入信号和输出信号都是由复数构成的。具体的实现代码：

int main() {

  Complex *input = new Complex[N];

  for (int i = 0; i < N; i++) {

    // input[i] = ...

  }

  Complex *output = new Complex[N];

  fft(input, output, N, 1);

  delete[] input;

  delete[] output;

  return 0;

}

以上就是利用 C++ 实现快速傅里叶变换的过程。通过 FFT 算法，可以快速地将时间域信号转换为频域信号，为后续的信号处理提供强有力的支持。

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