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C++ 求解模逆算法

2023-07-04 19:09:15 深夜i -- --

C++语言模逆算法数论取模运算逆元计算

在数学中，模逆是一种数论中的运算，它主要用于求解同余方程中的未知数。在计算机科学中，模逆经常被用来解决加密、解密、进行编码和解码等问题。C++中提供了多种方法来求解模逆，其中最常用的算法是扩展欧几里得算法。

扩展欧几里得算法是求解同余方程的一种有效方法。同余方程是形如ax≡b(mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，且m>0。求解该方程的模逆就是找到一个整数x，使得ax≡1(mod m)。下面以a=3，m=11为例，介绍扩展欧几里得算法的求解流程：

1. 首先使用欧几里得算法求出a和m的最大公因数(gcd)：


m = a * (m / a) + (m % a) = 3 * 3 + 2
a = m % a = 2
m = 3
a = 2
m = a * (m / a) + (m % a) = 2 * 1 + 1
a = m % a = 1
m = 2
a = 1
m = a * (m / a) + (m % a) = 1 * 2 + 0
a = m % a = 0

最终得到gcd(3, 11) = 1。

2. 接下来使用扩展欧几里得算法求解模逆x：


m = 11, a = 3
r1 = 1, r2 = 0, s1 = 0, s2 = 1
q = 11 / 3 = 3, r = 11 % 3 = 2
a1 = a, a2 = r, r = a1 - q * a2 = 3 - 3 * 2 = -3
s = s1 - q * s2 = 1 - 3 * 0 = 1
a1 = m, a2 = a, m = a1, a = a2, r = a1 - q * a2 = 11 - 3 * (-3) = 20
s1 = s2, s2 = s, s = s1 - q * s2 = 0 - 3 * 1 = -3
a1 = a2, a2 = r, a = a2, r = a1 - q * a2 = 3 - 3 * 20 = -57
s1 = s2, s2 = s, s = s1 - q * s2 = 1 - 3 * (-3) = 10
a1 = a2, a2 = r, m = a1 - q * a2 = 11 - 3 * (-57) = 182
s1 = s2, s2 = s, s = s1 - q * s2 = -3 - 3 * 10 = -33
a2 = r, r = 1
s2 = s, s = s2 - q * s = 10 - 3 * (-33) = 109
最终得到模逆x=109，因为3*109≡1(mod 11)。

通过扩展欧几里得算法，我们可以得到同余方程ax≡1(mod m)的模逆x，从而解决不同的计算问题。C++语言提供了丰富的算法库，可以方便地求解同余方程和模逆问题，让计算机科学家能更加高效地进行相关研究。

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