如何用C++判断素数？
2023-07-04 00:30:48
深夜i
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C++
素数
判断
素数，也称质数，是指只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7、11等。在计算机相关的领域中，对素数的判断和处理非常重要。在C++中，可以使用以下方法来判断一个数是否为素数。
1. 循环判断
最基本的方法就是用循环来逐个判断一个数是否能被除1和自身外的其他数整除。首先，我们定义一个函数isPrime()，并传入一个待判断的整数n。函数中使用for循环遍历2到n-1的所有数，判断是否存在可以整除n的数。如果存在，则n不是素数，返回false；否则，n是素数，返回true。
bool isPrime(int n) {
if (n <= 1) return false; // 小于等于1的数不是素数
for (int i = 2; i < n; i++) {
if (n % i == 0)
return false;
}
return true;
}
这种方法的缺点是效率比较低，对于大数的判断时间较长。
2. 去除一半
我们可以发现，在判断一个数n是否为素数时，只需要判断2到n/2的数是否可以整除n即可。因为n如果能被n/2到n-1之间的数整除，则一定也能够被2到n/2之间的数整除。可以用以下代码来实现这种方法。
bool isPrime(int n) {
if (n <= 1) return false;
for (int i = 2; i <= n / 2; i++) {
if (n % i == 0)
return false;
}
return true;
}
这种方法可以减少循环次数，效率更高一些。
3. 用开方优化
在进行素数判断时，我们可以发现，在2到n/2之间的每一个数i，对n除以i的余数都有对称数n/i。例如，当n=12时，2和6、3和4是成对出现的。因此我们只需考虑2到n开方范围内的数即可。如果i超过了n的平方根（sqrt(n)），则n/i必定小于n开方，因此之前已经被判断过了。
bool isPrime(int n) {
if (n <= 1) return false;
int sqrtn = sqrt(n);
for (int i = 2; i <= sqrtn; i++) {
if (n % i == 0)
return false;
}
return true;
}
用开方优化能够减少循环次数，明显提高效率。
总结
对于判断素数，在C++中有多种实现方法，从基本的循环判断到用开方优化。其中，用开方优化和去除一半的方法都能往往比较快地求得小于10^9内的所有素数。不过在进行实际应用时，还需要考虑到数据规模、计算时间和空间复杂度等因素，选择最适合的算法。
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