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TSP问题的动态规划算法——C++实现

2023-06-28 12:50:59 深夜i -- --

TSP 动态规划算法 C++实现

TSP问题，即旅行商问题，是一个著名的组合优化问题。其问题是：给定一个旅行商要去n个不同城市，每个城市之间都有固定的距离，旅行商需要找到一条回路，使得他经过所有城市一次且总距离最短。

解决TSP问题的方法有很多，其中动态规划算法是一种经典的优化方法，也是目前解决TSP问题的最好方法之一。在这里，我们将介绍使用动态规划算法解决TSP问题的C++实现。

动态规划算法解决TSP问题的基本思路是：先确定起点，再从起点开始遍历所有节点。对于遍历到的每个节点，计算到达该节点的最短路径，然后将该节点的编号加入路径中，并标记为已访问。最后，返回起点后，比较所有路径的长度，找到最短路径并返回。

下面是C++代码：


#include <bits/stdc++.h>
#define N 20
using namespace std;
int n, s, minCost;
int g[N][N], dp[1<<N][N];
int TSP(int state, int u){
  if(state == (1<<n)-1 && u==s) return 0;
  if(dp[state][u] != -1) return dp[state][u];
  int ans = INT_MAX;
  for(int v=0;v<n;v++){
    if(!(state & (1<<v))){
      int temp = g[u][v] + TSP(state|(1<<v), v);
      ans = min(ans, temp);
    }
  }
  return dp[state][u] = ans;
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(int i=0;i<n;i++){
    for(int j=0;j<n;j++){
      scanf("%d",&g[i][j]);
    }
  }
  s = 0;
  memset(dp,-1,sizeof(dp));
  minCost = TSP(1,0);
  printf("minCost: %d\n",minCost);
  return 0;
}

上述代码中，我们使用了一个二维数组`dp`，其中`dp[state][u]`表示已经访问了节点集合`state`，当前节点是`u`时所需的最小花费。`state`通过位运算和`1<

在`TSP`函数中，我们先判断当前状态是否已经到达目标状态，即所有节点都被访问并且当前节点为起点。如果到达目标状态，则返回0。如果当前状态已经计算过，则直接返回`dp[state][u]`。

然后，我们对所有没有被访问过的节点进行遍历，并计算到该节点的最小花费。对于遍历到的每个节点`v`，如果`v`没有被访问过，则使用递归调用计算从`v`出发到达目标状态所需的最小花费，并将从`u`到`v`的花费加上去。最后，返回所有状态中的最小花费。

使用上述代码，我们就可以解决TSP问题了。在代码中，我们输入了一个n*n的矩阵`g`，其中的每个数字表示两个节点之间的距离。代码默认起点为0，当然你也可以设置其他起点。最后，通过遍历所有状态，找到最小花费即为答案。

总之，动态规划算法是解决TSP问题的经典方法之一，其思路简单直观，实现起来也比较容易。通过我们的C++代码介绍，相信大家对动态规划算法有了更深入的了解。

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